线性回归介绍之八——回归方程的评价

本文探讨了在已知数据集的情况下,如何利用统计软件求解回归方程,并强调了评价回归方程合理性的重要性。通过引入指标如复相关系数、校正复相关系数、均方根误差、AIC和Cp统计量,文章指导读者如何判断方程是否符合实际,以及这些指标在多因素分析中的应用。同时,文章指出评价与诊断回归方程的互补作用,以及它们在确保研究方向正确性和结果精确性方面的作用。

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如果你已经有了一堆数据,有了因变量和自变量,利用统计软件求出回归方程是非常简单的事情,这些软件虽然不懂得如何分辨你的数据应该用什么方法,但是一旦你确定了方法,他们的计算能力还是非常强大的,可以快速地给出你所需要的结果。但是即使有了回归方程,我们还有一个问题需要解决,那就是:你凭什么认为求出的这个方程是合理的?或者说,凭什么认为求出的方程式符合实际的?这就涉及到回归方程的评价问题。

所谓回归方程的评价,通俗来讲就是通过一些指标,衡量回归方程是否合理,是否符合实际。比较常用的衡量方程的标准由复相关系数R,校正复相关系数R(adj),AIC指标,Cp统计量、均方根误差等。

对于这些指标而言,其实你不必理会他们的具体含义,也没有必要。你只要知道:复相关系数和校正复相关系数越大越好,均方根误差、AIC和Cp统计量越小越好。这些指标一般在统计软件中都会自动输入,如SAS和SPSS就可以看到这些指标。

可能有的人就会问了,我一共就求得了一个方程,怎么比较啊?其实这些指标更多地用在多因素的分析中。比如,我有5个自变量,实在不知道哪个变量有意义了,这时候就可以试着采用这些指标。比如,我加入了一个变量后,复相关系数和校正复相关系数明显增大,而均方根误差、AIC和Cp统计量明显变小,这可能提示你这个变量放入方程中有助于提高方程的质量。而如果加入一个变量后,这些指标变化不大,那可能提示对方程的改善意义不大,可以不考虑加入。

当然,具体的情形还需要结合实际情况来看,这些仅是一个原则。其实最重要的一点是专业,结合专业是最重要的,任何方程,即使指标再完美,如果与实际常理相违背,那也说明你的数据或方程有问题。

最后将回归评价与前面的回归诊断比较一下,回归诊断相当于一个前期工作,前期工作做好了,可以保证你的方法已经选对了,或者说,你的大方向已经正确,不会走错路了。回归评价则是一个善后工作,在大前提正确的情况下,通过回归评价把结果做的更加完美。二者相辅相成,最好全部都使用。

可惜的是,目前大多数人只知道上来就用线性回归,也不理会是不是符合线性回归的条件,做完之后,更想不起要看看方程合不合理,反正结果已经出来了。真希望大家都能懂点统计学,有点科研思想,不一定非要做科研,对日常生活也是有所帮助的。

在Python中处理数据回归问题时,我们通常使用一系列评价指标来评估模型的性能。这些指标帮助我们理解模型对数据拟合程度的好坏以及预测的准确性。以下是一些常见的数据回归问题评价指标: 1. **均方误差(Mean Squared Error, MSE)**: 计算实际值和预测值之间的平均平方差,数值越小表示模型预测越准确。 ```python from sklearn.metrics import mean_squared_error mse = mean_squared_error(y_true, y_pred) ``` 2. **均方根误差(Root Mean Squared Error, RMSE)**: RMSE是对MSE的平方根,也是衡量预测值与真实值之间差距的标准偏差形式,更易于解读。 ```python rmse = np.sqrt(mean_squared_error(y_true, y_pred)) ``` 3. **R²得分(Coefficient of Determination, R^2 或者 R-squared)**: 又称决定系数,范围从0到1,值越大表示模型解释了数据变异性的比例越高。 ```python from sklearn.metrics import r2_score r2 = r2_score(y_true, y_pred) ``` 4. **平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)**: 平均预测值与真实值绝对差的平均数,比RMSE对异常值更不敏感。 ```python mae = mean_absolute_error(y_true, y_pred) ``` 5. **对数似然(Log-Likelihood)**: 对于线性回归,这可能是不太常用的指标,但对于非线性模型如逻辑回归或指数回归,它是适用的。 6. **残差分析(Residual Plots)**: 检查残差图可以帮助判断模型是否满足假设(如线性关系、正态分布等)。 选择哪个指标取决于具体问题的性质和需求,例如,如果关心的是模型的整体精度,那么RMSE或MAE可能更好;如果重视模型的拟合优度,则R²分数更有用。在实际应用中,常常结合多个指标进行综合评估。
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