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在最优化的领域中，这“法”那“法”无穷多，而且还“长得像”——名字相似的多，有时让人觉得很迷惑。
在自变量为一维的情况下，也就是自变量可以视为一个标量，此时，一个实数就可以代表它了，这个时候，如果要改变自变量的值，则其要么减小，要么增加，也就是“非左即右“，所以，说到“自变量在某个方向上移动”这个概念的时候，它并不是十分明显；而在自变量为n（n≥2）维的情况下，这个概念就有用了起来：假设自变量X为3维的，即每一个X是（x1, x2, x3）这样的一个点，其中x1，x2和x3分别是一个实数，即标量。那么，如果要改变X，即将一个点移动到另一个点，你怎么移动？可以选择的方法太多了，例如，我们可以令x1，x2不变，仅使x3改变，也可以令x1，x3不变，仅使x2改变，等等。这些做法也就使得我们有了”方向“的概念，因为在3维空间中，一个点移动到另一个点，并不是像一维情况下那样“非左即右”的，而是有“方向”的。在这样的情况下，找到一个合适的”方向“，使得从一个点移动到另一个点的时候，函数值的改变最符合我们预定的要求（例如，函数值要减小到什么程度），就变得十分有必要了。
前奏已经结束，下面进入正题。
【1】最速下降法（或：梯度法）
加注：我又写了一篇关于最速下降法的文章，更详细，请看这里。
很形象，也许你的脑子里一闪而过的，就是：取可以让目标函数值最快速“下降”的方法？差不多是这么回事。严谨地说：以负梯度方向作为极小化方法的下降方向，这种方法就是最速下降法。
为什么是负梯度方向使目标函数值下降最快？以前我也只是死记硬背，背出来的东西虽然有用，终究还是令人糊涂的。所以有必要写出它”为什么“的理由：
我们正在讨论的是”n维空间中的一个点移动到另一个点之后，目标函数值的改变情况“，因此，先直接写出代表最终的目标函数值的数学表达式：
：代表第k个点的自变量（一个向量）。
：单位方向（一个向量），即 |d|=1。
：步长（一个实数）。
：目标函数在Xk这一点的梯度（一个向量）。
：α的高阶无穷小。
显然，这个数学表达式是用泰勒公式展开得到的，样子有点难看，所以对比一下自变量为一维的情况下的泰勒展开式
就知道多维的情况下的泰勒展开式是怎么回事了。
在[1]式中，高阶无穷小可以忽略，因此，要使[1]式取到最小值，应使
取到最小——这是两个向量的点积（数量积），何种情况下其值最小呢？来看两向量
的夹角θ的余弦是如何定义的：
假设向量与负梯度
的夹角为θ，我们便可求出点积的值为：
可见，θ为0时，上式取得最小值。也就是说，取时，目标函数值下降得最快，这就是称负梯度方向为“最速下降”方向的由来了。
最速下降法的收敛性：对一般的目标函数是整体收敛的（所谓整体收敛，是指不会非要在某些点附近的范围内，才会有好的收敛性）。
最速下降法的收敛速度：至少是线性收敛的。
【2】牛顿法
上面的最速下降法只用到了梯度信息，即目标函数的一阶导数信息，而牛顿法则用到了二阶导数信息。
在点处，对目标函数进行泰勒展开，并只取二阶导数及其之前的几项（更高阶的导数项忽略），得：
：目标函数在Xk这一点的梯度（一个向量）。
：目标函数在Xk这一点的Hesse矩阵（二阶导数矩阵），这里假设其是连续的。
由于极小值点必然是驻点，而驻点是一阶导数为0的点，所以，对 r(X) 这个函数来说，要取到极小值，我们应该分析其一阶导数。对X求一阶导数，并令其等于0：
当Gk的逆矩阵存在，也即Gk为非奇异矩阵的时候，将上式两边都左乘Gk的逆矩阵Gk-1，得：
到了这一步，已经很明显了。这个式子表达了下一点的计算方法：Xk在方向d上按步长1（1×d = d）移动到点X。所以我们知道方向d怎么求了：
如果你觉得上式有点奇怪：为什么都得到了d的表达式，还要再弄出一个Gkd=-gk？那么我说：因为在实际应用中，d并不是通过Gk-1与gk相乘来计算出的（因为我们并不知道逆矩阵Gk-1是什么），而是通过解方程组Gkd=-gk求出的。这个解方程组的过程，其实也就可能是一个求逆矩阵的过程。关于解此方程组的方法，可以参考这一篇文章。关键时刻，概念清晰很重要。
有人说，那么方程组可能无解呢？没错，方程组可能是奇异的，在这种情况下，就需要用到其他的修正技术，来获取搜索方向了，本文不谈。
上面关于牛顿法的各种推导可能让你觉得杂乱无章，但实际上它们就是牛顿法的基本步骤：每一步迭代过程中，通过解线性方程组得到搜索方向，然后将自变量移动到下一个点，然后再计算是否符合收敛条件，不符合的话就一直按这个策略（解方程组→得到搜索方向→移动点→检验收敛条件）继续下去。
牛顿法的收敛性：对一般问题都不是整体收敛的（只有当初始点充分接近极小点时，才有很好的收敛性）。
牛顿法的收敛速度：二阶收敛。因此，它比最速下降法要快。
【3】共轭方向法
加注：我又写了一篇关于共轭方向法的文章，更详细，请看这里。
上面的方法，前、后两次迭代的方向并没有特别的相关要求，而共轭方向法则有了——它要求新的搜索方向与前面所有的搜索方向是共轭的。由于搜索方向是向量，所以也就是说，这些向量是满足共轭条件的：
其中，m≠n，dm和dn分别为两个向量（搜索方向），G为对称正定矩阵。
对于“共轭”，我有一个自己“捏造”出来的说法，来帮助你记忆它的含义：看到“共轭”，就想到“共遏”，即“互相遏制”，这不，两个向量中间夹着一个矩阵互相发力，结果谁也占不到便宜——积为0。
共轭方向法也是只利用了目标函数的梯度信息，即一阶导数信息，不用计算Hesse矩阵，使得其计算量比牛顿法小很多。
但是，怎么在每一步迭代的过程中，都得到若干个两两共轭的搜索方向？Powell共轭方向集方法是一个选择，它可以构造出若干个两两共轭的方向。不过，它本身也有一些缺陷：在构造共轭方向的过程中，各方向会逐渐变得线性相关，这就达不到“共轭”的要求了。所以，有很多种对Powell算法进行修正的策略被人们应用到了实际场景中，现在说到Powell方法，应该或多或少都包含了那些修正策略吧（我的感觉）。
特别值得一提的是，在共轭方向法中，新搜索方向的确定，是要满足“下降”条件的，即方向与梯度之积<0：
是不是意味着目标函数值下降量越大，这个方向就越可取呢？不是。在人们已经发现的修正Powell算法的有效方法中，有一种方法是舍弃目标函数值下降最大的方向——这看似不合理的做法恰恰蕴含了合理的结果：放弃目标函数值下降最大的方向能更好地避免各方向线性相关。关于这一点，这里就不详述了。
一句话总结共轭方向法的过程：选定搜索方向d，使之满足共轭条件以及下降条件，在此搜索方向上通过精确线搜索确定移动的步长，然后将当前点移动到下一点，再重新选定搜索方向，周而复始，直到满足终止条件。
共轭方向法的收敛性：对二次函数，最多在n步（n为自变量的维数）内就可找到其极小值点。对一般的非二次函数，经适当修正后，也可以达到相同的效果。
共轭方向法的收敛速度：比最速下降法快，比牛顿法慢。
【4】共轭梯度法
注意：下面那些长长的推导过程，其实是有部分错误的，当年我认为我弄懂了，其实到了某个推导步骤以后，我就理解错了，只不过我以为我对了，我即将在另一篇文章里写上我认为正确的推导，对不住大家了...
“共轭梯度法”是一种特殊的“共轭方向法”。既然叫共轭梯度法，它与梯度必然是有关系的。共轭方向法与梯度也有关系——共轭方向法利用了目标函数的梯度信息（梯度与方向的积满足“下降”条件）。共轭梯度法与此关系有所区别：用当前点的负梯度方向，与前面的搜索方向进行共轭化，以得到新的搜索方向。
具体来说，这个新的搜索方向是怎么计算出来的呢？推导起来比较麻烦，下面就慢慢道来。
首先，需要说明共轭梯度法的一个理论基础（记为T1）：在迭代过程中，我们会从初始点开始，在搜索方向上通过精确线搜索的方法，找到使目标函数值符合要求（例如，min f(X)）的步长，然后将点移动到下一点。这样不断进行下去，就会得到很多个点。在N维空间Rn中，在每一个搜索方向上，都有无数个点，它们构成了一个轨迹（或者说一个集合），我们称之为线性流形——拿二维空间（二维平面）作比喻，就好像是一个点在二维平面上的移动形成的轨迹：
只不过在高维空间中，我们想像不出这个轨迹的样子，不过这没关系，能引申上去就好了。
当目标函数是二次函数时，在这个线性流形中，每一个我们迭代到的点都是极小值点。在某些书中，你可能还会看到一种说法，称此线性流形为N维超平面，也是一个意思，不过概念太多了会让人很晕，尤其是在没有掌握足够的背景的情况下，往往不能判断一个概念与另一个概念是不是同一个意思，这样就导致理解受到影响，因此，在刚开始学习的时候，我觉得努力弄懂一个概念就好了。
这个理论基础在推导“如何获取共轭梯度法的搜索方向”的过程中会用到。
由于上面的理论基础是在目标函数为二次函数的情况下得到的，因此，在推导共轭梯度法的搜索方向的公式之前，我们先假定目标函数是二次函数：
其中G为n阶对称正定矩阵。X为自变量（一个n维向量）。
如果觉得这个X为n维向量的函数形式有点怪的话，那么还是对比一下X为1维（可以视为一个标量）的函数形式，就很清楚了：
在下面的推导过程中，如果你遇到看上去很“别扭”的式子，只要按照这样的规则来对比就行了。
由于共轭梯度法就是与梯度相关的方法，因此我们必须要求[2]式的函数的梯度（即一阶导数）：
现在，假设初始点为X0，我们从X0出发，先推导出前几个搜索方向
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