分形和相似

分形
分形按我的理解就是分而形似，也就是说把一个物体分成足够小的几部分的时候，这小的部分与原来的物体具有相似的感觉在里面。这个感觉即“自相似”，自己的某部分与自己整体相似，也有递归的感觉！比如把一个正方形分割成四分，每一份都与原来的正方体相似（ps:大小不同，不能认为是全相同）。一点可以认为是零维的，一条线可以认为是一维的，平面是二维的，立体是三维的。然而自然界中的一些分形是多少维的，以前一直都无法用数学来描述这些问题的原因是我们一直用整数来表示空间的维度，一维、二维、三维都是整数，所以无法描述这些分形，因为这些分成的维介于一、二、三维之间。后来可以用分数来表示维数才得到解决。
来理解一下自相似。
把所有的自然数按升序写出来：1，2，3，4，5，6，7，8，9,10，11，12，…
写成二进制：1，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，1100，…
数一数二进制数里每个1的个数：1，1，2，1，2，2，3，1，2，2，3，2，…
把上面的数列的奇数项去掉得到：1，1，2，1，2，2，…
可见它与上面的序列完全一样！
还可以通过在每个数后面加上一个后继得到上面的序列即n→n(n+1)。
1：0
2：0  0+1=1
3：0  0+1  1  1+1  ：0  1  1  2
4：0  0+1  1  1+1  1  1+1  2  2+1  ：0  1  1  2  1  2  2  3
Ps:如果极端地说把所所有的物体把分成足够的小是不是每个物体都有自相似呢，比如分成原子大小！
 
相似
给定一些物品，如何让计算机判断出这些物品是否相同，以及它们的相似程序呢？比如给定三个物品：
糖水：液体、甜味、可食、无色
白开水：液体、无味、可食、无色
可乐：液体、可乐味、可食、焦色
把上面三个物品数字化：
糖水：       1，2，3，4
白开水：   1，5，3，4
可乐：       1，6，4，7
按向量  液体、甜味、可食、无色、无味、可乐味、焦色 ，向量化三个物品
糖水 [1,1,1,1,0,0,0]
白开水  [1,0,1,1,1,0,0]
可乐   [1,0,1,0,0,1,1]
 
用余弦定理计算两两夹角：
cos(糖水^开水)=（1*1+1*0+1*1+1*1+0*1+0*0+0*0）/4=3/4
cos(开水^可乐)=2/4
cos(糖水^可乐)=2/4
cos的值越大，夹角越小，相似度就越高，相反cos值越小，夹角越大，相似度就越小。
上面的糖水与开水的相似度很高，开水与可乐，糖水与可乐的相似度一样。
 
上面这样比较是有问题的，原因是每种特性在总体占有上睥权重是不相同的，比如液体这属性三个物品都具有所以其权重是0，我们把每种属性的权重计算出来看看：
液体：ln(3/3)=0
甜味：ln(3/1)= 1.099
可食：ln(3/3)=0
无色：ln(3/2)=0.405
无味：ln(3/1)=1.099
可乐味：ln(3/1)=1.099
焦色：ln(3/1)=1.099
 
计算权重后相应的特征向量为：
糖水 [0,1.099,0,0.405,0,0,0]
开水 [0,0,0,0.405,1.099,0,0]
可乐 [0,0,0,0,0,1.099,1.099]
然后再求cos得：
cos(糖水^开水)=0.120
 cos(开水^可乐)=0
 cos(糖水^可乐)=0
 
为什么开水与可乐、糖水与可乐的相关度是0呢，那是因为液体与可食这两个特征在三个物品当中都具有。所以无法用这两个特征来比较三个物品了，因此我们比较的是不同的地方，至于所有物品都具有的属性应该不予以考虑。