线性结构：线性表

2.1.1 引子：多项式表示

多项式表示问题的启示：
1.同一个问题可以有不同的表示（存储）方法
2.有一类共性问题：有序线性序列的组织和管理

2.1.2 线性表及其顺序存储

“ 线性表（Linear List）” ：由同类型数据元素构成有序序列的线性结构

• 表中元素个数称为线性表的长度
• 线性表没有元素时，称为空表
• 表启示位置称表头，表结束位置称表尾

线性表的抽象数据类型描述
类型名称：线性表（List）
数据对象集：线性表是n(n>=0)个元素构成的有序序列（a₁，a₂，……，a_n）
操作集：线性表L∈ List，整数i表示位置，元素X∈ ElementType，线性表基本操作主要有：
1.List MakeEmpty（）：初始化一个空线性表L；
2.ElementType FindKth（int K，List L）：根据位序K，返回相应元素；
3.int Find（ElementType X，List L）：在线性表L中查找X的第一次出现位置；
4.void Insert（ElementType X，int i，List L）：在位序i前插入一个新元素X；
5.void Delete（int i，List L）：删除指定位序i的元素；
6.int Length（List L）：返回线性表L的长度n.

线性表的顺序存储实现
利用数组的连续存储空间顺序存放线性表的各元素


线性表中的按值查找是指在线性表中查找与给定值 x 相等的数据元素。在顺序表中完成该运算最简单的办法是：从第一个元素 a₁ 起依次和 x 比较，直到找到一个与 x 相等的数据元素，则返回它在顺序表中的存储下标；或者查遍整个表都没有找到与 x 相等的元素，返回 -1。

本算法的主要运算是比较。显然比较的次数与 x 在表中的位置有关，也与表长有关，当 a₁= x 时，比较一次成功，当a_n = x 时比较 n 次成功。平均比较次数为 (n+1)/2 ，时间复杂度为 O(n)。


线性表的插入是指在表的第 i 个位置上插入一个值为 x 的新元素，插入后使原表长为 n 的表（a₁，a₂，a₃，…，a_i-1，a_i，a_i+1，…，a_n）成为表长为 n+1 的表（a₁，a₂，a₃，…，a_i-1，x，a_i，a_i+1，…，a_n+1）。i的取值范围为 1 <= i <= n+1。

在顺序表上完成这一运算需通过以下步骤进行：
(1).将 a_i ~ a_n 顺序向后移动，为新元素让出位置；
(2).将 x 置入空出的第 i 个位置；
(3).修改 last 指针（即修改表长），是指仍指向最后一个元素。

本算法注意以下问题：
(1).顺序表中数据区域有 MAXSIZE 个存储单元，所以在向顺序表中做插入时先检查表空间是否满了。在表满的情况下不能再做插入，否则将产生溢出错误；
(2).要检验插入位置的有效性，这里 i 的有效范围是 ：1 <= i <= n+1，其中 n 为原表长；
(3).注意数据的移动方向。

插入算法的时间性能分析如下：
顺序表上的插入运算，时间主要消耗在数据的移动上，在第 i 个位置插入 x ，从 a_i 到 a_n 都要向后移动一个位置，共需要移动 n-i+1 个元素，而 i 的取值范围为：1 <= i <= n+1 ，即有 n+1 个位置可以插入。设在第 i 个位置上作插入的概率为 P_i，则平均移动数据元素的次数：
E_in=∑ⁿ⁺¹_i=1p_i(n-i+1)
设：P_i=1/(n+1)，即在任一位置插入概率相等的情况下，则：
E_in=∑ⁿ⁺¹_i=1p_i(n-i+1)=1/(n+1)∑ⁿ⁺¹_i=1(n-i+1)=n/2
（∑是一个求和符号，下标表示从第几个数开始求和，一般用i=1表示，上标表示加到第几个数，一般用n表示。 如果下标是i=1, 上标是n，就表示从第一个数加到第n个数。）
这表明在顺序表上做插入操作需移动表中一半的数据元素，时间复杂度为O(n)。

线性表的删除是指将表中第 i 个元素从线性表中去掉，删除后使原表长为 n 的线性表（ a₁，a₂，a₃，…，a_i-1，a_i，a_i+1，…，a_n ） 成为表长为 n-1 的线性表（a₁，a₂，a₃，…，a_i-1，a_i+1，…，a_n）。i 的取值范围为：1 <= i <= n。

顺序表完成这一运算的步骤如下：
（1）将 a_i+1 ~ a_n 顺序向前移动；
（2） 修改 last 指针（即修改表长）使之仍指向最后一个元素。

本算法应注意以下问题：
（1）删除第 i 个元素， i 的取值为 1 <= i <= n，否则第 i 个元素不存在，因此，要检查删除位置的有效性；
（2）当表空时不能做删除，因表空时 L -> last 的值为 -1，条件 “ i < 1 || i > L -> last +1 ” 也包括了对表空的检查；
（3）删除 a_i 之后，该数据已不存在，如果需要，先取出 a_i ，再做删除。

删除算法的时间性能分析如下：
与插入运算相同，其时间主要消耗在了移动表中元素上，删除第 i 个元素时，其后面的元素 a_i+1 ~ a_n 都要向前移动一个位置，共移动了 n - i 个元素，所以平均移动数据元素的次数：
E_de=∑ⁿ⁺¹_i=1p_i(n-i)
设：P_i=1/n，即在任一位置插入概率相等的情况下，则：
E_de=∑ⁿ⁺¹_i=1p_i(n-i)=1/n∑ⁿ⁺¹_i=1(n-i)=(n-1)/2

2.1.3 线性表的链式存储实现及查找

不要求逻辑上相邻的两个元素物理上也相邻：通过“链”建立起数据元素之间的逻辑关系。

• 插入、删除不需要移动数据元素，只需要修改“链”。
  
  在数组里面，我们要找到已知序号的元素是很简单的，而通过 Las t指针也可以很快求出线性表的长度；但是如果在一个链表里面，我们光知道一个链表的头，我们怎么知道第 i 个元素在哪里？链表的长度在哪里？所以与数组相比，链式存储的结构在这两个问题上面就会复杂了。