数据结构考研复习

1. 绪论

1.1 基本概念

基本概念和术语

1. 数据
2. 数据元素 一个对象，比如一个学生就是一个数据元素,由学号、姓名、性别等数据项组成。
3. 数据对象 具有相同性质的数据元素的集合
4. 数据类型

数据结构三要素

1. 逻辑结构 ，
   分为线性结构(结构中的数据元素之间只存在一对一的关系)和非线性结构。
2. 存储结构
   1)顺序存储(逻辑上相连的元素存储在物理位置上也相连的存储单元中)
   2)链式存储
   3)索引存储
   4)散列存储
3. 运算

1.2 算法

一个算法具有以下5个重要特性:(必须满足)

1. 有穷性
2. 确定性
3. 可行性
4. 输入
5. 输出
   

1.3 例题

1.【真题】 已知两个长度分别为m，n的升序链表，若将他们合并为长度为m+n的一个降序链表，则最坏情况下的时间复杂度为()
A.O(n) B.O(mn) C.O(min(m,n)) D.O(max(m,n))
答案: D
2.下列说法错误的是（）
I. 算法原地工作的含义是指不需要任何额外的辅助空间
II. 在相同规模n下，复杂度为O(n)的算法在时间上总是优于复杂度为O(2 ⁿ)的算法
A. I   B.II   C. I和II
答案: A

2. 线性表

	顺序表	线性表
特点	表中元素的逻辑顺序与物理顺序相同
存取方式	随机存取(存取表中元素时可以随机存取任一元素)	非随机存取
优点	1.存取速度快O(1) 2.存储密度大，需要大量连续存储单元	1.插入O(1)和删除方便O(n) (删除主要浪费的时间在查找上) 2.结点空间只需要在申请时分配，操作灵活高效
缺点	1.插入删除难O(n） 2.需要预分配足够大的存储空间	查找O(n)

2.1 顺序表

2.2 链式表

2.3 例题

1.【真题】已知一个带有表头结点的单链表,结点结构为 【data|link】
假设该链表只给出了头指针list，在不改变链表的前提下，请设计一个尽可能高效的算法，查找链表中倒数第k个位置上的结点(k为正整数)。若查找成功，则输出data值，返回1；否则只返回0。
思路：定义两个指针p,q初始时均指向头结点的下一个结点,p沿链表移动,当p移动到第k个结点时,q指针开始与p指针同时移动。当p指针移动到最后一个结点时,q指针所指示结点为倒数第k个结点。

3. 栈和队列

栈和队列是操作受限的线性表。

3.1 栈

先进后出
数学性质: n个不同元素进栈,出栈元素不同排列的个数为Cⁿ_2n /(n+1)

3.1.1 共享栈

为了更好地利用存储空间,防止上溢

3.2 队列

先进先出

3.2.1 循环队列

队空: Q.front = Q.rear
入队: Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize
出队: Q.front = (Q.front + 1) % MaxSize
元素个数: (Q.rear - Q.front + MaxSize) % MaxSize
区别队空还是队满:

1. 牺牲一个单元 (Q.rear + 1) % MaxSize = Q.front

3.2.2 双端队列

3.3 例题

1.【真题】已知循环队列存储在一维数组A[0…n-1]中，且队列非空时front和rear分别指向队头元素和队尾元素，若初始时队列为空，且要求第一个进入队列的元素存储在A[0]处,则初始front和rear的值分别是()
A.0,0 B.0,n - 1 C.n-1, 0 D. n-1, n-1

解答:因为队列非空时front和rear要指向队头元素和队尾元素,所以在入队后front和rear都要指向A[0]，且入队只操作rear = (rear + 1) % n，所以选B

2. 用链式存储方式的队列进行删除操作时需要
A. 仅修改头指针 B.仅修改尾指针 C.头尾指针都要修改 D.头尾指针可能都要修改

解答: 删除元素从表头删除,通常仅需要修改头指针,但若队列中仅有一个元素时，尾指针也需要修改，删除后队列为空，需修改尾指针rear = front，选D

4. 串

4.1 KMP算法

KMP算法分为两步

1. 获取next数组
2. 根据next数组对子串进行移动

4.1.1 next数组

next[j] =

1. 0, j = 1 (模式串中第一个字符(j=1))
2. s的最长相等前后缀长度+1, 前1~j-1个字符记为s

例如: ‘ababaa’

j	1	2	3	4	5	6
	a	b	a	b	a	a
next[j]	0	1	1	2	3	4

void get_next(SString T,int next[] )
{
    int i = 1, j = 0;
    next[1] = 0;
    while(i < T.length)
    {
        if(j == 0 || T.ch[i] == T.ch[j])
        {
            i++;
            j++;
            next[i] = j;
        }else j = next[j];
    } 
}

4.1.2 kmp算法

两个指针p=1,q=1初始指向主串S和子串L的第一个字符,若字符匹配则p++,q++, 若不匹配则子串指针q发生回退,q = next[q]。最终当出现q>L.length时找到匹配子串的第一个字符的位置i = q - L.lenth

int index_KMP(SString S, SString L) // S大字符串,L要查找的字符串
{
   int i = 1,j = 1;
   int next[L.length+1];
   get_next(L, next);
   while(i <= S.length && j <= L.length)
   {
       if(j == 0 || S.ch[i] == L.ch[j])
       {
           i++;
           j++;
       }else j = next[j];
   }
   if(j > L.length) return i - L.length;
   return 0;
}

4.1.3 kmp算法的进一步优化

当出现子串L中的字符L[i] = L[j]时(j > i),next[j] = next[i]
例如: 'aaaab'

j	1	2	3	4	5
	a	a	a	a	b
next[j]	0	1	2	3	4
nextval[j]	0	0	0	0	4

void get_nextval(SString T,int next[] )
{
    int i = 1, j = 0;
    next[1] = 0;
    while(i < T.length)
    {
        if(j == 0 || T.ch[i] == T.ch[j])
        {
            i++;
            j++;
            if(T.ch[i] != T.ch[j]) next[i] = j;
            else next[i] = next[j];
        }else j = next[j];
    } 
}

4.2 例题

1.【真题】设主串T为'abaabaabcabaabc',模式串S='abaabc',采用KMP算法进行模式匹配，到匹配成功为止,在匹配过程中进行的单个字符间的比较次数为______
解答:

j	1	2	3	4	5	6
	a	b	a	a	b	c
next[j]	0	1	1	2	2	3

匹配过程分为两步：

1. 第一步比较了6次,此时在主串的第6个字符，模式串的第6个字符，发生了不匹配，根据next[6] = 3,模式串的指针j跳转到了3
2. 第二步从主串的第6个字符‘a’和模式串的第3个字符’a’开始进行匹配，匹配了4次，成功找到子串。
   所以答案为10次。

5.树与二叉树

5.1 树的定义

1. 树中一个结点的孩子个数称为该结点的度,树中结点最大度数称为树的度
2. 结点的深度是从根结点开始自顶向下逐层累加的
3. 结点的高度是从叶子结点开始自底向上逐层累加的
4. 结点个数的计算,若树的度为2,n = n₀+n₁+n₂,且n = 0n₀+1n₁+2*n₂+1，因为所有结点的度+1 = 所有结点个数(根节点没有父结点)

5.2 二叉树

二叉树是有序树
完全二叉树

1. 若有度为1的结点,则只可能有一个,且该结点只有左孩子无右孩子
2. 非空二叉树的叶子结点数等于度为2的结点数加1，即n₀=n₂+1
   
   证明:设B为分支总数,n为总结点数, n = B + 1, B = n₁ + 2n₂，n = n₀ + n₁ + n₂
3. 具有n个结点的完全二叉树的高度为⌈log₂(n+1)⌉
   
   证明:2^h-1<n <= 2^h -1

5.2.1 二叉树的存储结构

顺序存储结构:适合满二叉树和完全二叉树
一般从数组下标1开始存储树中的结点

链式存储结构：在含有n个结点的二叉链表中,含有n+1个空链域

5.2.2 二叉树的遍历

1. 先序遍历: 根左右
2. 中序遍历: 左根右
3. 后序遍历: 左右根
   

5.3.3 *线索二叉树

引入线索二叉树的目的就是为了加快查找结点前驱和后继的速度。
将含有n个结点的二叉树中的n+1个空指针用于存放线索。
线索化的过程中若结点没有前驱或者后继也要指向null

中序线索化

最后一个结点的右孩子指针指向null,rtag=1,用于遍历时判断结点有无右孩子,且中序遍历的最后一个结点一定没有右孩子。

先序线索化

先序线索化时由于先对T结点进行了线索化，当PreThread(T->lchild)时会出现，访问T结点的前驱，出现循环，所以要访问T的左孩子结点时要对rtag是否是真的左孩子的判断。(右孩子不用)

后续线索化

线索二叉树中寻找前驱后继(一般只考察手算)

中序线索二叉树 1. 后继
I.T.rtag == 1,next = T->rchild
II.T.rtag == 0,next = p的右子树的最左下结点

2. 前驱
   

先序线索二叉树

1. 后继
2. 前驱，若有左孩子,则找不到

后序线索二叉树

1. 后继,若有右孩子，则找不到
2. 前驱

5.3 树和森林

5.3.1 树和森林的转换

树的性质：n个结点的树中有n-1条边， 若森林F中有15条边，25个结点，说明森林中有（25-15）=10颗树
树转换为二叉树的规则:每个结点左指针指向它的第一个孩子，右指针指向它的相邻右兄弟

5.3.2 树和森林的遍历

树	森林	树对应的二叉树的遍历序列
先根遍历 (如上图的先根遍历序列为 ABEFCDG)	先序遍历森林 (依次对各个树先根遍历)	先序遍历
后根遍历 (EFBCGDA)	中序遍历森林 (依次对各个树后根遍历)	中序遍历
		后序遍历

5.4 二叉排序树(BST)

5.4.1 二叉排序树的构造

5.4.2 二叉排序树的删除

若被删除结点Z为

1. 叶结点，直接删除
2. 结点只有一颗左子树或右子树,让子树成为Z的父结点的子树
   
3. 有左右两棵子树,令Z的直接后继(或直接前驱)代替Z,然后从二叉排序树中删去这个直接后继,转化为情况1.2

5.4.3 二叉排序树的查找效率

当有序表是静态查找表时，宜用顺序表作为其存储结构，而采用二分查找表实现其查找操作；
当有序表时动态查找表，应选择二叉排序树作为其逻辑结构。


查找成功的平均查找长度ASL_a=(1+2x2+3x4+4x3) / 10 = 2.9
查找失败的平均查找长度ASL_a=(3x5+4x6) / 11 = 3.55

5.4.4 *平衡二叉树 AVL树(一般考察选择题，手算)

平衡因子 = 左子树高 - 右子树高
叶子结点没有平衡因子。 定义: 平衡二叉树的平衡因子只可能是0，-1，1

1. LL

2. RR

3. LR,令最小平衡子树的根节点的左孩子的右孩子先左旋再右旋
   
   

4. RL
   

5.5 哈夫曼树

结点的带权路径长度=从树的根结点到该结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积
树的带权路径长度WPL=树中所有带权路径长度之和

5.5.1 哈夫曼树的构造

1. 从权值最小的两个结点

5.6 例题

1.若一颗深度为6的完全二叉树的第6层有3个叶子结点,则该二叉树中共有____个叶子结点。
解答: 第5层共有16个结点,减去有孩子的2个结点，共有14个+3个=17个

2.已知一颗有2011个结点的树，其叶结点个数是116，该树对应的二叉树中无右孩子的结点个数是_____。
解答: 所以答案为1896

3. 线索二叉树是一种__结构
A.逻辑 B.逻辑和存储 C.物理 D.线性
答案:线索二叉树是加上线索的链表结构，是二叉树在计算机内部的一种存储结构，选C

4. __的遍历仍需要栈的支持
A.前序线索树 B.中序线索树 C.后序线索树 D.所有线索树
解答:后序线索树最后访问根结点,后序线索树不方便访问后继结点,所以还是要用递归即用到栈才能完全遍历。选C

5.【真题】若一棵非空k(k>2)叉树T中的每个非叶结点都有k个孩子，则称T为正则k叉树。请回答:

1)若T有m个非叶结点，则T中的叶结点有多少
2)若T的高度为h（单结点的树高为1），则T的结点数最多为多少个？最少为多少个？
解答:1）B+1 = k*m = m + n₀ => n₀ = (k-1)m + 1
2) 最多:(1-k^h )/(1-k)。 最少 1 +（h-1)k
6.【真题】若将关键字1，2，3，4，5，6，7依次插入初始为空的平衡二叉树T，则T中平衡因子为0的分支结点的个数是 ____。
解答:

所以是3个。

6. 图

线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。图中不能一个顶点也没有，图的顶点集一定非空，但边集可以为空。

概念:

有向边<v,w>称为从v到w的弧,v称为弧尾,w为弧头。

简单图:

1. 不存在重复边
2. 不存在顶点到自身的边

连通图: 无向图中,若从顶点v到w有路径存在，则称v和w是连通的，若图G中任意两个顶点都是连通的,则称图G为连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量。
若一个图有n个顶点，如果边数小于n-1,那么此图必是非连通图。
非连通图最多可以有C² _n-1条边。

强连通图: 有向图中,若从顶点v到w和w到v都有路径存在，则称v和w是强连通的。若图中任意一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

生成树: 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。

6.1 图的存储

V为图的顶点数,E为图的边数

	邻接矩阵	邻接表
确定图中的边数	按行按列对每个元素进行检测,时间花费大
删除顶点	方便	复杂度高
适合图	稠密图	稀疏图
空间复杂度	O(v2)	无向图: O(V+E) 有向图:O(V+2E)
唯一性	唯一	不唯一

十字链表
有向图的一种链式存储结构
顶点结构:firstIn、firstOut分别指向以该顶点为弧头或弧尾的第一个弧结点

弧结点:尾域tailvex和头域headvex分别指示弧尾和弧头这两个顶点在图中的位置。链域hlink、tlink分别指向弧头相同和弧尾相同的下一条弧




邻接多重表:无向图的另一种链式存储结构

顶点:

• data：存储此顶点的数据；
• firstedge：指针域，用于指向第一条依附于该结点的边。

边:

• mark：标志域，用于标记此结点是否被搜索过
  ivex 和 jvex：数据域，分别存储图中各边两端的顶点所在数组中的位置下标；
  ilink：指针域，指向下一个依附于 顶点ivex 的边 ；
  jlink：指针域，指向下一个依附于 顶点jvex 的边；
  info：指针域，用于存储与该顶点有关的其他信息，比如无向网中各边的权；

6.2 图的遍历

广度优先遍历BFS:先访问起始顶点v，从v出发，依次访问v的各个未被访问过的邻接顶点w₁,w₂,…,w_i,再依次访问w₁,w₂,…w_i的未被访问的邻接结点。(队列实现)

广度优先生成树

因此访问顺序是：A -> B -> C -> D -> F -> G -> E -> H

深度优先遍历DFS:先访问起始顶点v，从v出发，访问v的未被访问过的邻接顶点w₁，再访问w₂,的未被访问的邻接结点，重复上述过程，当不能再继续向下访问时，依次退回最近被访问的结点，若它还有没被访问过的邻接结点，重复上述过程。

因此访问顺序是：A -> B -> G -> E -> C -> D -> H -> F

6.2.1 图的遍历与连通性

• 无向图:调用BFS/DFS函数次数 = 连通分量数
• 有向图:对强连通图，只调用1次函数

6.3 最小生成树

最小生成树: 带权图中权值之和最小的生成树。

6.3.1 Prim算法

时间复杂度:O(V²)，适用于边稠密的图
初始时从图中任取一个顶点如V₁加入树T,之后选择一个当前T中顶点集合距离最小的顶点加入T。

6.3.2 Kruskal算法

依次选择权值最小的边，

6.4 最短路径

带权路径长度:顶点v₀到顶点v₁的一条路径所经过的边的权值之和。

6.4.1 Dijkstra算法求单源最短路径

即求一个顶点到其他顶点的最短路径。

时间复杂度:O(V²)
注意:不适用与边上带负权值的图

6.4.2 Floyd算法求各个顶点之间的最短路径

时间复杂度:O(V³),允许图中有带负权值的边,但不允许带包含负权值的边组成的回路。
直接看图,更新完后再写邻接矩阵。
依次将各个顶点作为中间结点,重新计算各个顶点之间最短路径。
计算完成后的邻接矩阵A² 即任意顶点之间的最短路径。

6.5 有向无环图描述表达式

有向无环图: 若一个有向图中不存在环，则称为有向无环图。简称为DAG图。
利用有向无环图对存在重复子式的表达式的优化，节省存储空间。
方法:

1. 把各个操作数不重复地排成一排
2. 标出各个运算符顺序
3. 按顺序加入运算符
4. 自底向上逐层检查，同层运算合并

6.6 关键路径

AOV网: 若用DAG图表示一个工程,其顶点表示活动,用有向边<V_i, V_j>表示活动V_i必须先于活动V_j进行的一种关系。

6.6.1 拓扑排序

1. 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点输出
2. 从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边
   

6.6.2 关键路径

在带权有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销，称之为AOE网。
源点(开始顶点): AOE网中入度为0的顶点
汇点(结束顶点): AOE网中出度为0的顶点
关键路径:从源点到汇点的所有路径中，具有最大路径长度的路径
关键活动:关键路径上的活动

寻找关键活动(看书p235)

事件最早发生时间ve(k):
从源点开始到v_k的最长路径长度

6.7 例题

1.判断有向图中是否存在回路，除可以使用拓扑排序外，还可以利用__
A.求关键路径的方法 B.求最短路径的Dijkstra算法 C.深度优先遍历算法 D.广度优先算法
解答:选C，对顶点v进行深度优先遍历时，出现一条从<u,v>的边则存在回路(把v视为未搜索过)

2.使用DFS算法递归遍历一个无环有向图，并在退出递归时输出相应结点，这样得到的顶点序列是
A.逆拓扑有序 B.拓扑有序 C.无序的 D.都不是
解答:选A

7.查找

7.1 顺序查找

7.2 折半查找

7.3 分块查找

7.4 B树和B+树

7.5 散列表

7.6 例题

1.顺序查找适合于存储结构为__的线性表
A.顺序存储结构或链式存储结构 B.散列存储结构
C.索引存储结构 D.压缩存储结构
解答: 选A。

2.【真题】下列选项中，不能构成折半查找中关键字比较序列的是__
A.500，200，450，180 B.500，450，200，180
C.180，500，200，450 D.180，200，500，450
解答:选A。

1. 第一次比较500，下次出现的关键字一定x<=500
2. 第二次比较200，下次出现的关键字一定200<=x<=500
3. 第三次比较450，下次出现的关键字一定200<=x<=450

8.排序