卜踆哉数对

阿里笔试题—卜踆哉数对

今天下午做完网易笔试题，然后5点准备做腾讯的面试题，然后发现只是模拟试卷，汗！-_-!!言归正传，晚上阿里试题题目是卜踆哉数对，网上也没有相关资料。（怕不是阿里程序猿现编的数学数对，雾2333333）最后虽然好像找到了一条路径，但还是没时间去实现了。（40分钟真是短~~~）本文介绍一下我的思路（有可能并不好hhhhh）

目录

---

题目

实数数对$(b - 1 + \sqrt{b^2 - 1})$在数学上称之为卜踆哉数对，又称为B数对，他们有很多有趣的数学特点，其中参数b称之为该数对的b因子。比如3.15晚会的月份和日期就组成一个B数对，对应的b因子为4。在一些工程领域，经常需要计算对$\left\lfloor(b - 1 + \sqrt{b^2 - 1})^c\right\rfloor \% d$ 的值，其中为向下取整。请根据参数（b, c, d），计算该数据的值。$1 \leq b \leq 10000, 1 \leq c \leq 10000, 1 \leq d \leq 10000$

过程

初来乍到

其实一开始看到这道题是懵比的。我暴力求解能算出多少？所以直接套公式编程计算。第一次结果只有40%，感觉有点低。就开始想是不是要做化简什么的。因为括号内的内容是$(a + \sqrt{a * (a + 2)})$，所以接下来就是一大堆的因数分解啊，变换啊什么的。结果没做好，想想再把程序改了吧。然后在改程序的时候发现忘记开根号了-_-!!!这也能过40%！！！！Are you kidding me !!!!改好之后一验证。果然，完整的套公式解法对于测试用例有60%是可行的。然后没办法了，才60%呀。那就只能再回归公式，这时候只剩下25分钟了。我注意到后面的取模符号%，就在想这题有没有可能是在取模符号上做文章？说到取模符号，我有想到上个礼拜在上信息安全课，老师在讲公钥密码机制的RSA算法的时候，有讲到过使用初等数论知识进行人为计算公私钥加解密的内容。

RSA内容

RSA密码体制的描述

密钥生成算法：每个用户执行以下操作
随机生成两个不同大素数p,q;
计算$n = p * q, \phi(n) = (p - 1)(q - 1)$;
随机选取整数e,$1<e<\phi(n)$,满足$(e,\phi(n))=1$;
利用扩展欧基里德算法求出满足$ed=1$ $mod$ $(\phi(n))$的整数d;
公开(n,e)，保密$(p,q,\phi(n),d)$。其中e就是加密密钥，而d就是解密密钥，n称为模数。

RSA加解密：若B要利用A的公钥进行加密，则B执行

获得A可信的公钥(n,e)；
把消息按分组的方式表示为区间[0,n-1]之间的整数m；
计算$c = m^e$ $mod$ $n$;
将密文c发送给A；
解密：为从c中恢复明文m，A利用解密密钥d，计算
$m=c^d$ $mod$ $n$

例如：

取p=7,q=17,则
$n=pq=7×17=119$
$\phi(n)=(7-1)(17-1)=6 × 16=96$
任取e=5，则d=77.注意$5 × 77=385=1$ $mod$ $96$

假设m = 19，
$c= 19^5mod119 = 19\times(19^2)^2 mod119= 19\times361^2mod119 = 19\times4^2mod119 = 304mod 119 = 66mod 119$
$\therefore c = 66$
以上结果只需要了解一下模运算的相关知识应该不难得到。

想法

那么这个有什么关联吗？当时也是抱着试试看的想法，比较了一下。因为上面的计算内容其实是计算$a^c$ $mod$ $d$，因为在c只有“一般大”（相较于计算机而言）的时候，我们人类就算不出上面的东西了，太麻烦！那怎么办？上面是先将$a^c mod$ $d$ 变成$(a^2)^\frac{c}{2}$ $mod$ $d$。我们计算平方还是能算算的~

• 那么如果这个$a^2 == d$ 不用算啦，值就是0；
  • 如果这个$a^2 > d$ 对它先进行取模运算。也就是说$(a^2)^\frac{c}{2}mod d == (a^2 mod d)^\frac{c}{2}$

  • 上面的过程其实就是一直在做这样的事情。

    那么既然上面的方法对我们人类计算很有用，那么对于计算机计算有没有用呢？

    其实上面的过程就是认为c在很大的时候，计算很麻烦。先做部分幂s(上例中s = 2)，比较$c^s$ 与d。然后做取模运算（$a^s mod d$）得到新的底数$E$，原式变为$E^\frac{c}{s} mod d$，重复循环。知道我们认为“原式”已经足够简单计算。

    题目思路

    这个想法启发了我。说了这么多终于开始介绍题目思路了：

    我认为题目中最影响运算的就是幂运算$c$。

    

    如果计算完成$a^c$ 需要的时间是t，我认为计算完成$a^\frac{c}{2}$ 的时间是小于$\frac{t}{2}$ 的。如果设$E = a^\frac{c}{2}$ ,那么在$c$ 很大的情况下，$E$ 也是一个大数。所以我套用上面的方法，对$E$这个大数取模，使它变为小于$d$ $1 \leq d \leq 10000$的一个相对“小数”。重复操作至设定的一个阈值结束。

    

    

    这样做，是把在 c 次幂运算中，运算到幂函数“爆炸临界点”的时候。对底数取模，使底数变“小”，使底数再次远离临界点，提高运算效率。

    总结

    当然上面这只是一个粗糙的思路，有很多细节还没有说完（原式中的取整没有考虑啊，爆炸临界点的选取啊，最终结束阈值的确定啊等等）。但是我还是会好好地把这个内容完善的。写了一个上午，第一次用MarkDown写，但是感觉它真的是个好工具！
    当然，上面我所说的也有可能就是个错误的想法（23333333333）。

    有问题请mailto:sevancozhang@gmail.com 。

    ---