最优二叉树概念 （哈夫曼树）

最优二叉树概念 

1．树的路径长度
    　树的路径长度是从树根到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

2．树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree，简记为WPL)
　　结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
　　结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
　　树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree)：定义为树中所有叶结点的带权路径长度之和，通常记为： 
                  
  其中：
      
    n表示叶子结点的数目
    w_i和l_i分别表示叶结点k_i的权值和根到结点k_i之间的路径长度。
    树的带权路径长度亦称为树的代价。

3．最优二叉树或哈夫曼树
    　在权为w_l，w₂，…，w_n的n个叶子所构成的所有二叉树中，带权路径长度最小(即代价最小)的二叉树称为最优二叉树或哈夫曼树。
  【例】给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：
        (a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
        (b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
        (c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
　　其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
        
  注意：
    ① 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
    ② 最优二叉树中，权越大的叶子离根越近。
    ③ 最优二叉树的形态不唯一，WPL最小