初学C++笔记——数学运算(一)_c++ ln 与 exp函数-优快云博客

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这篇博客介绍了如何在C++中不使用内置指数和平方根函数来计算非负整数的算术平方根。文章详细探讨了三种方法：1) 使用指数函数exp()和对数函数ln；2) 通过二分查找法；3) 应用牛顿迭代法。每种方法的实现原理和时间复杂度分析均进行了阐述，特别提到了牛顿迭代法在处理凸函数时的优势。

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给出非负整数x,范围0 <= x <= $\text{[math]}$ ，要求在不使用任何内置指数函数和算符(pow(x, 0.5) x ** 0.5)的情况下返回x的算数平方根

思路无非就是1.模拟出指数函数迭代过程得出近似结果2.用其他函数替代平方根函数得到结果

这篇笔记会记录官方答案给出的三种题解

相关代码

🟦使用指数函数exp()和对数函数ln代替平方根函数

$\text{[math]}$

    if(x == 0) cout << 0 << endl;
    int ans = exp(0.5 * log(x));
    cout << ((long long)(ans + 1) * (ans + 1) <= x ? ans + 1 : ans) << endl
    ;

log()是e为底的对数

log10()是10为底的对数

为什么最后还要比较ans+1和ans，是因为计算机无法存储浮点数的精确值(参考IEEE754)指数函数和对数函数的参数和返回值均为浮点数，因此运算过程中会存在误差。题解中给出了一个例子x=2147395600时， $\text{[math]}$ 的计算结果和正确值46340相差 $\text{[math]}$ 会导致取整之后得到46339(一般人也不会想到吧喂)

内置的exp()和log()都很快，可以将其时间复杂度视为O(1)

🟦二分查找

还是想找出平方结果小于等于x的数，但是用传统循环时间复杂度是O(n)，这里用二分，初始范围设置在0到x之间

    int l = 0, r = x, ans = -1;
    while(l <= r){
        int mid = (r - l) / 2 + l;
        if((long long) mid * mid <= x){
            ans = mid;
            l = mid + 1;
        }
        else r = mid - 1;
    }
    cout << ans << endl;

可以把时间复杂度降到O(logx)

🟦牛顿迭代

将目标x视为C，整个问题能转换成求方程 $\text{[math]}$ 的零点

牛顿迭代实际上是借助泰勒级数，从初始值开始快速逼近，将一个任取的 $\text{[math]}$ 作为初始值，迭代开始

取在函数上的点 $\text{[math]}$ 做一条斜率为该点的导数 $\text{[math]}$ 的直线，和横轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相比于 $\text{[math]}$ 更靠进目标零点。多次迭代，就会得到一个和目标结果及其相近的值

在函数 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 那么关于 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的直线方程可推算为

$\text{[math]}$

关联横轴与方程，可以得到 $\text{[math]}$ 的表达式

$\text{[math]}$

在进行数次迭代之后，得到的 $\text{[math]}$ 和要求的 $\text{[math]}$ 足够接近

要注意的几点

初始值 $\text{[math]}$ 的选择

初始的 $\text{[math]}$ 设置为C，因为方程 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，如果选择较小的初始值结果可能会迭代到 $\text{[math]}$ 上，初始的 $\text{[math]}$ 设置为C不仅方便计算还能确保迭代的方向是正确的(你尽管赋值剩下的交给计算机)

迭代结束的判断条件

一般判断相邻两次迭代的结果差值是否小于一个非负整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可以取值为 $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$

    double C = x, x0 = x;
    while(1){
        double xi = 0.5*(x0 + C / x0);
        if(fabs(x0 - xi) < 1e-7) break;
        x0 = xi;
    }
    cout << (int)x0 << endl;

时间复杂度同样是O(logx)

小结：

网站分享了三种复杂度低于O(n)的方法，其中牛顿迭代我的收获很大，这只是对凸函数的处理，不知道后面是否能够遇到更合适的应用