树上CDQ分治 NOI2014购票

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By SemiWaker

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思想

普通CDQ分治

对于一个操作序列 [L,R] ，将其分为两半：[L,M] 和 [M+1,R]
分别递归处理 [L,M] 和 [M+1,R] 。
考虑左区间对右区间的影响，显然只有左区间的修改操作会对右区间的询问操作有影响。
然后处理左区间的修改操作对右区间的影响，具体方法与题目有关。

树上CDQ分治

这里的限制条件是：每个点仅受祖先影响，或者每个点仅受该点所在子树的影响。（两个条件全局仅成立一个）

先讨论每个点仅受祖先影响的情况。

考虑以某个点 x 为分界线，将树分为两半。（虽然有多个联通块）
将根 R 所在的块包括 x 分治处理。
处理 R 所在的块中的修改操作，对树的其余部分的影响。
注意，只有从 x 到 R 的路径上的点才会对树的其余部分有影响，因为只有这一些点在树的其余部分到根的路径上。
将树的其余部分分治处理。（每个联通块单独处理）
分治后的根为与 x 相连的点。（即分治的部分中深度最小的点）

如果是每个点仅受所在子树的影响的话，将分治的顺序调换即可。

考虑怎样选取分界点 x ，显然选择重心最优。

换句话说，树上的CDQ分治，就是以点分治的方式来进行CDQ分治。

题目

给出一棵树，树上每个点 x 有3个参数 Px、Qx、Lx。
每一个点可以移动到某个距离在 Lx 以内的祖先节点。
如果移动的距离是 D ，那么代价为 Px D+Qx 。
求每个点移动到根的最小代价。

题解

设每个点 x 移动到根的最小代价为 Fx，显然有DP方程：

Fx=min{ Fy+Px(Hx−