90、函数相关变量数量近似与无误差硬度放大查询复杂度研究

函数相关变量数量近似与无误差硬度放大查询复杂度研究

函数相关变量数量的测试

在函数分析中，判断一个函数具有 $k$ 个相关变量还是超过 $(1 + γ)k$ 个相关变量是一个重要问题。对于线性函数和 GF(2) 上的多项式，有特定的方法来进行相关判断。
- 线性函数 ：线性函数是一类被广泛研究的函数。对于该类函数中的每个函数，每个有影响力的变量的影响力为 1/2。通过执行仅依赖于 $γ$ 的查询次数，就可以测试该类函数是否具有 $k$ 个相关变量或超过 $(1 + γ)k$ 个相关变量。作为一个推论，可以得到相应的定理。
- GF(2) 上的多项式 ：每个布尔函数都可以用 GF(2) 上的多项式表示。多项式的最大次数 $d$ 是衡量其简单性的常用指标。
- 上界确定 ：确定一个 $d$ 次多项式是否最多有 $k$ 个相关变量或超过 $(1 + γ)k$ 个相关变量的上界，可从相关定理以及 $d$ 次多项式中每个相关变量具有影响力 $Ω(2^{-d})$ 这一事实得出。
- 下界确定 ：$d$ 次多项式的下界确定与一般情况类似，使用从不同元素问题的归约。这里，字符串映射到的函数族必须可以由 $d$ 次多项式实现，其中相关变量的数量可能大于 $2d$。描述了一个参数化的函数族 $F_{n,m,d}$，其中每个函数 $F_{n,m,d} : {0, 1}^n → {0, 1}$ 是一个 $d$ 次多项式，依赖于前 $d - 1$ 个变量和 $m$ 个变量的一个额外子集。前 $d - 1$ 个变量的设置确定了 $m$ 个变量的一个特定子集，大小为 $(n - d + 1)/2^{d - 1}$，函数 $f$ 的值是该子集中变量的奇偶性。为了进行归约，将长度为 $2^{d - 1}$ 的字符串映射到具有任意大输入大小 $n$ 的函数。

无误差硬度放大的查询复杂度

传统上，解决计算问题的算法要求在所有输入上都正确，并根据其效率进行评判。但在实际中，算法只需在“现实世界”输入上正确即可。为了解决这个问题，研究者发展了平均情况复杂度理论，该理论从算法的效率和未能正确解决问题的输入比例两个方面来评判算法。平均情况复杂度有两种标准设置：无误差平均情况复杂度和非无误差平均情况复杂度。
- 非无误差平均情况复杂度 ：一个布尔函数如果没有高效算法能在几乎所有输入上计算它，则被称为轻度平均情况困难。应用如去随机化和密码学需要强平均情况困难的函数，即没有高效算法能在明显超过一半的输入上计算该函数。这就引出了硬度放大的问题，即将轻度平均情况困难的函数转换为强平均情况困难的函数。经典的 XOR 引理表明，足够多独立副本的轻度平均情况困难函数的异或在小电路模型下是强平均情况困难的。然而，XOR 引理以及后续的硬度放大结果会导致电路大小的损失。查询复杂度 $q$ 决定了电路大小的损失，对于 XOR 引理，已知 $q = O(\frac{1}{\epsilon^2} \log \frac{1}{\delta})$ 次查询就足够，并且在某种意义上，$q = Ω(\frac{1}{\epsilon^2} \log \frac{1}{\delta})$ 次查询是必要的。
- 无误差平均情况复杂度 ：Bogdanov 和 Safra 开创了在 Levin 原始的无误差平均情况复杂度设置下的硬度放大研究。一个布尔函数如果没有高效的无误差算法（如大小为 $s$ 的电路）能在几乎所有输入（如 $1 - \delta$ 比例）上计算它，则被称为轻度无误差平均情况困难。如果没有高效的无误差算法（如大小为 $s’$ 的电路）能在显著比例的输入（如 $\epsilon$ 比例）上计算它，则被称为强无误差平均情况困难。无误差硬度放大的目标是将轻度无误差平均情况困难的函数 $f$ 转换为强无误差平均情况困难的函数 $f’$。Bogdanov 和 Safra 表明，当 $f’$ 是 $f$ 的几个独立副本的异或时，$q = O((\frac{1}{\delta} \log \frac{1}{\epsilon})^2 \cdot \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta})$ 次查询就足够。而改进后的结果将查询复杂度提高到 $O(\frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta})$，这对于非自适应黑盒无误差硬度放大在常数因子范围内是最优的。

无误差 XOR 引理

给定函数 $f : {0, 1}^n → {0, 1}$，定义 $f^{\oplus k} : {0, 1}^{n×k} → {0, 1}$ 为 $f^{\oplus k}(x_1, …, x_k) = f(x_1) ⊕ · · · ⊕ f(x_k)$。
- 相关定义 ：如果一个电路 $A : {0, 1}^n → {0, 1, ⊥}$ 满足：对于所有 $x ∈ {0, 1}^n$，$A(x) ∈ {f(x), ⊥}$，并且当 $x$ 从 ${0, 1}^n$ 中均匀随机选择时，$Pr_x[A(x) = ⊥] ≤ δ$，则称 $A$ 是 $f$ 的一个 $\delta$ - 无误差电路。如果 $f$ 没有大小不超过 $s$ 的 $\delta$ - 无误差电路，则称 $f$ 是 $(s, \delta)$ - 困难的。
- 定理内容 ：如果 $f$ 是 $(s, \delta)$ - 困难的，那么 $f’ = f^{\oplus k}$ 是 $(s’, 1 - \epsilon)$ - 困难的，其中 $s’ = s / (\frac{4}{\epsilon} \ln \frac{2}{\delta})$，前提是 $k ≥ \frac{16}{\delta} \ln \frac{2}{\epsilon}$。
- 证明思路 ：通过与之前类似的归约来证明该定理。关键在于一个随机化过程，该过程在对假设的 $f’$ 的 $(1 - \epsilon)$ - 无误差电路 $A’$ 进行一次查询的同时，无误差地解决 $f$。假设对于某个 $β > 0$，知道不超过 $\delta/2$ 比例的输入 $x$ 是“坏”的，即该过程输出 $f(x)$ 的概率小于 $β$。那么通过放大好输入上的成功概率并适当地硬连线随机性，就可以通过查询复杂度为 $O(\frac{1}{\beta} \log \frac{1}{\delta})$ 的归约得到 $f$ 的一个 $\delta$ - 无误差电路 $A$。改进之处在于论证可以取 $β = \epsilon/4$。通过假设坏输入的比例大于 $\delta/2$，证明此时 $A’$ 必须在小于 $\epsilon$ 比例的输入上计算 $f’$。该过程输出 $f(x)$ 当且仅当查询是 $A’$ 计算 $f’$ 的一个输入。考虑对 $A’$ 的查询的两种分布：均匀分布和通过选择一个随机坏输入 $x$ 并在输入 $x$ 上运行该过程得到的分布。已知在后者分布下 $A’$ 计算 $f’$ 的概率小于 $β = \epsilon/4$，要证明在前者分布下 $A’$ 计算 $f’$ 的概率小于 $\epsilon$。通过论证两种分布“接近”，即前者分布下任何事件的概率小于后者分布下的概率的两倍加上 $\epsilon/2$。可以证明，任何实现无误差硬度放大的非自适应黑盒归约都需要 $Ω(\frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta})$ 次查询，这表明该定理在某种意义上是最优的。

单调无误差放大

考虑在 NP 内进行无误差硬度放大的问题。如果 $f$ 可以在非确定性多项式时间内计算，希望 $f’$ 也能在非确定性多项式时间内计算。取 $f’ = f^{\oplus k}$ 不能保证这一点，因此考虑更一般的构造形式 $f’ = C ◦ f^k$，其中 $C : {0, 1}^k → {0, 1}$，$f^k : {0, 1}^{n×k} → {0, 1}^k$ 定义为 $f^k(x_1, …, x_k) = (f(x_1), …, f(x_k))$。
- 相关定义
- b - 敏感坐标 ：给定一个单调函数 $C : {0, 1}^k → {0, 1}$ 和一个字符串 $y ∈ {0, 1}^k$，如果翻转 $y$ 的第 $i$ 位会导致 $C$ 的值从 $b$ 翻转到 $\overline{b}$，则称坐标 $i ∈ [k]$ 是 $b$ - 敏感的，用 $\sigma(C, y, b)$ 表示 $b$ - 敏感坐标的集合。
- (t, ρ, p, b) - 放大器 ：对于 $b ∈ {0, 1}$，如果一个函数 $C : {0, 1}^k → {0, 1}$ 是单调的，并且 $Pr_{y∼p {0, 1}^k}[|\sigma(C, y, b)| ≥ t] ≥ 1 - ρ$，则称 $C$ 是一个 $(t, ρ, p, b)$ - 放大器。
- 单边无误差平均情况困难 ：对于 $b ∈ {0, 1}$，如果一个电路 $A : {0, 1}^n → {0, 1, ⊥}$ 满足：对于所有 $x ∈ {0, 1}^n$，$A(x) ∈ {f(x), ⊥}$，并且当 $x$ 从 $f^{-1}(b)$ 中均匀随机选择时，$Pr_x[A(x) = ⊥] ≤ δ$，则称 $A$ 是 $f$ 的一个 $(\delta, b)$ - 无误差电路。如果 $f$ 没有大小不超过 $s$ 的 $(\delta, b)$ - 无误差电路，则称 $f$ 是 $(s, \delta, b)$ - 困难的。
- 定理内容 ：对于 $b ∈ {0, 1}$，如果 $f$ 是 $(s, \delta, b)$ - 困难的，并且 $C : {0, 1}^k → {0, 1}$ 是一个 $(t, ρ, p, b)$ - 放大器，那么 $f’ = C ◦ f^k$ 是 $(s’, 1 - \epsilon)$ - 困难的，其中 $s’ = s / (\frac{k}{t} \cdot \frac{4}{\epsilon} \ln \frac{2}{\delta})$，前提是 $t ≥ \frac{16}{\delta} \ln \frac{4}{\epsilon}$，$ρ ≤ \epsilon/4$，并且 $p = Pr_x[f(x) = 1]$。
- 与之前结果对比 ：之前的结果中，$s’ = s / (k^3 \cdot \frac{64}{\epsilon^2} \ln \frac{2}{\delta})$，前提是 $t ≥ \frac{4}{\delta} \ln \frac{8}{\epsilon}$ 且 $ρ ≤ \epsilon/2$。改进后的结果显著提高了查询复杂度。

总结

通过对线性函数和 GF(2) 上多项式相关变量数量的测试研究，以及在无误差平均情况复杂度下对硬度放大查询复杂度的深入探讨，得到了更优的查询复杂度结果。在无误差 XOR 引理和单调无误差放大方面，改进后的结果在一定程度上达到了最优，为相关领域的研究提供了更有效的方法和理论支持。

以下是无误差硬度放大相关流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[判断函数 f 硬度]
    B --> C{是否轻度无误差平均情况困难}
    C -- 是 --> D[选择构造 f']
    D --> E[进行硬度放大]
    E --> F[判断 f' 硬度]
    F --> G{是否强无误差平均情况困难}
    G -- 是 --> H[结束]
    G -- 否 --> I[调整参数重新放大]
    I --> E
    C -- 否 --> J[结束]

以下是不同函数类型判断相关变量数量的表格：
| 函数类型 | 判断方法 | 相关指标 |
| ---- | ---- | ---- |
| 线性函数 | 执行依赖于 $γ$ 的查询次数 | 变量影响力为 1/2 |
| GF(2) 上的多项式 | 上界根据相关定理和变量影响力得出，下界使用归约 | 多项式次数 $d$ |

函数相关变量数量近似与无误差硬度放大查询复杂度研究（续）

函数相关变量数量测试的应用与意义

函数相关变量数量的测试在实际应用中具有重要意义。对于线性函数和 GF(2) 上的多项式，准确判断其相关变量数量有助于优化算法设计和提高计算效率。
- 线性函数的应用 ：在线性规划、机器学习等领域，线性函数经常被使用。通过测试线性函数的相关变量数量，可以确定哪些变量对函数的输出影响较大，从而在实际应用中重点关注这些变量，减少不必要的计算。例如，在多元线性回归中，通过判断相关变量数量，可以筛选出对因变量影响显著的自变量，提高模型的预测准确性。
- GF(2) 上多项式的应用 ：在密码学、编码理论等领域，布尔函数通常用 GF(2) 上的多项式表示。确定多项式的相关变量数量可以帮助设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。例如，在设计对称加密算法时，了解多项式的相关变量数量可以更好地控制算法的复杂度和安全性。

无误差硬度放大查询复杂度优化的影响

无误差硬度放大查询复杂度的优化对于平均情况复杂度理论和实际应用都有积极的影响。
- 理论层面 ：优化后的查询复杂度结果在理论上更接近最优值，为平均情况复杂度理论的发展提供了更坚实的基础。例如，无误差 XOR 引理和单调无误差放大定理的改进结果，在一定程度上解决了之前研究中的查询复杂度过高的问题，使得理论更加完善。
- 实际应用层面 ：在密码学、去随机化等领域，需要使用强平均情况困难的函数。优化后的查询复杂度可以减少电路大小的损失，提高算法的效率。例如，在设计密码系统时，使用优化后的无误差硬度放大方法可以在保证安全性的前提下，降低系统的计算成本。

无误差 XOR 引理的实际操作步骤

无误差 XOR 引理在实际应用中可以按照以下步骤进行操作：
1. 确定函数 $f$ 的硬度 ：首先需要判断函数 $f$ 是否为 $(s, \delta)$ - 困难的。可以通过检查是否存在大小不超过 $s$ 的 $\delta$ - 无误差电路来确定。
2. 选择合适的 $k$ 值 ：根据定理要求，选择满足 $k ≥ \frac{16}{\delta} \ln \frac{2}{\epsilon}$ 的 $k$ 值。
3. 构造函数 $f’$ ：将函数 $f$ 进行 $k$ 次独立复制，并计算它们的异或，得到 $f’ = f^{\oplus k}$。
4. 判断 $f’$ 的硬度 ：检查 $f’$ 是否为 $(s’, 1 - \epsilon)$ - 困难的，其中 $s’ = s / (\frac{4}{\epsilon} \ln \frac{2}{\delta})$。

以下是无误差 XOR 引理操作步骤的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[确定函数 f 硬度]
    B --> C{是否 (s, δ) - 困难}
    C -- 是 --> D[选择合适的 k 值]
    D --> E[构造函数 f']
    E --> F[判断 f' 硬度]
    F --> G{是否 (s', 1 - ε) - 困难}
    G -- 是 --> H[结束]
    G -- 否 --> I[调整参数重新构造]
    I --> D
    C -- 否 --> J[结束]

单调无误差放大的实际操作步骤

单调无误差放大在实际应用中可以按照以下步骤进行操作：
1. 确定函数 $f$ 的单边硬度 ：判断函数 $f$ 是否为 $(s, \delta, b)$ - 困难的，其中 $b ∈ {0, 1}$。
2. 选择合适的单调函数 $C$ ：选择满足 $(t, ρ, p, b)$ - 放大器条件的单调函数 $C$，其中 $t ≥ \frac{16}{\delta} \ln \frac{4}{\epsilon}$，$ρ ≤ \epsilon/4$，并且 $p = Pr_x[f(x) = 1]$。
3. 构造函数 $f’$ ：将函数 $f$ 进行 $k$ 次独立复制，并通过单调函数 $C$ 进行组合，得到 $f’ = C ◦ f^k$。
4. 判断 $f’$ 的硬度 ：检查 $f’$ 是否为 $(s’, 1 - \epsilon)$ - 困难的，其中 $s’ = s / (\frac{k}{t} \cdot \frac{4}{\epsilon} \ln \frac{2}{\delta})$。

以下是单调无误差放大操作步骤的表格：
| 步骤 | 操作内容 |
| ---- | ---- |
| 1 | 确定函数 $f$ 的单边硬度 |
| 2 | 选择合适的单调函数 $C$ |
| 3 | 构造函数 $f’$ |
| 4 | 判断 $f’$ 的硬度 |

未来研究方向

虽然在函数相关变量数量测试和无误差硬度放大查询复杂度优化方面取得了一定的成果，但仍有一些问题值得进一步研究。
- 自适应黑盒归约的查询复杂度 ：目前对于非自适应黑盒归约的查询复杂度已经有了较为清晰的结果，但自适应黑盒归约的最优查询复杂度仍然是一个开放问题。未来可以深入研究自适应黑盒归约的性质，寻找更优的查询复杂度。
- 更多函数类型的相关变量数量测试 ：除了线性函数和 GF(2) 上的多项式，还有许多其他类型的函数。可以研究如何对这些函数进行相关变量数量的测试，以扩大研究的应用范围。
- 硬度放大在其他领域的应用 ：可以探索无误差硬度放大在更多领域的应用，如量子计算、生物信息学等，为这些领域的发展提供新的理论和方法。

通过对函数相关变量数量近似和无误差硬度放大查询复杂度的研究，我们不仅得到了更优的理论结果，还为实际应用提供了更有效的方法。未来的研究将进一步拓展这些成果，推动相关领域的发展。