64、随机图中的独立集与局部可采样源的随机性提取

随机图中的独立集与局部可采样源的随机性提取

1. 随机图独立集相关定理与方法

在随机图的研究中，有关于临界值的重要定理。对于任意常数 $x > \frac{4}{e}$，当 $\alpha$ 足够小时，有：
[ccrit(\alpha) \geq \frac{2 \ln(1/\alpha) + 1}{\alpha} - x\sqrt{\alpha}]
通过对相关公式的反演，可以得到关于 $\alpha_{crit}(c)$ 的边界：
对于 $z > 0$，设 $W(z)$ 表示方程 $x e^x = z$ 的唯一正根 $x$。那么对于任意常数 $y > 4\sqrt{2}/e$，有
[\frac{2}{c} W\left(\frac{e c}{2}\right) - \frac{y\sqrt{\ln c}}{c^{3/2}} \leq \alpha_{crit} \leq \frac{2}{c} W\left(\frac{e c}{2}\right)]
其中，下界在 $c$ 足够大时成立。

为了证明这些结论，采用了加权二阶矩方法。对于非负随机变量 $X$，根据柯西 - 施瓦茨不等式有：
[Pr[X > 0] \geq \frac{E[X]^2}{E[X^2]}]
然而，直接将其应用于独立集的数量 $X$ 时会失败，因为大多数大小为 $\alpha n$ 的集合对之间，它们是独立集的事件高度相关，导致 $E[X^2]$ 比 $E[X]^2$ 大得多，二阶矩方法给出的 $Pr[X > 0]$ 的下界极小。

为了解决这个相关性问题，采用了给每个独立集 $S$ 赋予权重 $w(S)$ 的方法，定义为：
[w(S) = \mu^{# \text{ of edges } (u, v) \text{ with } u, v \notin S}]
其中 $\mu < 1$。若边的数量 $m$ 固定，也可写成：
[w(S) = \mu^{m - \sum_{v \in S} \text{deg}(v)}]
将二阶矩方法应用于所有大小为 $\alpha n$ 的独立集的总权重 $X$：
[X = \sum_{\substack{S \subseteq V, |S| = \alpha n \ S \text{ independent}}} w(S)]
当适当地调整 $\mu$ 时，对于特定的 $\alpha^{\star}, c^{\star}$，有 $E[X^2] = \Theta(E[X]^2)$，此时 $Pr[X > 0]$ 有非零下界，即 $ccrit(\alpha^{\star}) \geq c^{\star}$ 或 $\alpha_{crit}(c^{\star}) \geq \alpha^{\star}$。

接下来计算随机变量 $X$ 的一阶和二阶矩：
- 一阶矩计算 ：
固定大小为 $\alpha n$ 的集合 $S$，由于 $m$ 条边是独立选择的，有 $E[w(S)] = w_1(\alpha, \mu)^m$，其中
[w_1(\alpha, \mu) = E_{u,v}[w_{u,v}(S)] = (1 - \alpha)^2\mu + 2\alpha(1 - \alpha)]
通过期望的线性性，$E[X] = \binom{n}{\alpha n} w_1(\alpha, \mu)^m$，使用斯特林近似并代入 $m = \frac{cn}{2}$ 可得：
[E[X] = \Theta\left(\frac{1}{\sqrt{n}} e^{n f_1(\alpha)}\right)]
其中 $f_1(\alpha) = h(\alpha) + \frac{c}{2} \ln w_1(\alpha, \mu)$。
- 二阶矩计算 ：
[E[X^2] = E\left[\left(\sum_S w(S)\right)\left(\sum_T w(T)\right)\right] = \sum_{S,T} E[w(S) w(T)]]
设 $S$ 和 $T$ 的交集大小为 $\zeta n$，则 $E[w(S) w(T)] = w_2(\alpha, \zeta, \mu)^m$，其中
[w_2(\alpha, \zeta, \mu) = E_{u,v} [w_{u,v}(S) w_{u,v}(T)] = (1 - 2\alpha + \zeta)^2\mu^2 + 4(\alpha - \zeta)(1 - 2\alpha + \zeta)\mu + 2(\alpha - \zeta)^2 + 2\zeta(1 - 2\alpha + \zeta)]
当 $\zeta = \alpha^2$ 时，$w_2 = w_1^2$。
二阶矩的计算结果为：
[\frac{E[X^2]}{E[X]^2} = \Theta\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{z = 0}^{\alpha n} e^{n \varphi(z/n)}\right)]
其中 $\varphi(\zeta) = f_2(\alpha, \zeta, \mu) - 2f_1(\alpha, \mu)$，目标是证明 $\varphi$ 在 $\zeta = \alpha^2$ 处取得最大值。

2. 寻找和界定最大值

使用不等式 $\ln(1 + x) \leq x$，可得 $\varphi(\zeta) \leq \psi(\zeta)$，其中
[\psi(\zeta) = \alpha h\left(\frac{\zeta}{\alpha}\right) + (1 - \alpha) h\left(\frac{\alpha - \zeta}{1 - \alpha}\right) - h(\alpha) + \frac{c}{2} \frac{(\zeta - \alpha^2)^2}{(1 - \alpha)^4}]
$\psi(\zeta)$ 的一阶和二阶导数分别为：
[\psi’(\zeta) = \frac{c (\zeta - \alpha^2)}{(1 - \alpha)^4} + 2 \ln(\alpha - \zeta) - \ln \zeta - \ln(1 - 2\alpha + \zeta)]
[\psi’‘(\zeta) = \frac{c}{(1 - \alpha)^4} - \frac{2}{\alpha - \zeta} - \frac{1}{\zeta} - \frac{1}{1 - 2\alpha + \zeta}]
$\psi’‘(\zeta)$ 在 $\zeta = 0$ 和 $\zeta = \alpha$ 时趋于 $-\infty$，令 $\psi’‘(\zeta) = 0$ 得到一个关于 $\zeta$ 的三次方程，对于足够小的 $\alpha$，在区间 $[0, \alpha]$ 内有两个正根 $0 < \zeta_1 < \zeta_2 < \alpha$，使得：
[
\begin{cases}
\psi’‘(\zeta) < 0, & 0 < \zeta < \zeta_1 \
\psi’‘(\zeta) > 0, & \zeta_1 < \zeta < \zeta_2 \
\psi’‘(\zeta) < 0, & \zeta_2 < \zeta < \alpha
\end{cases}
]
这表明 $\psi$ 最多有两个局部最大值。
- 一个在区间 $[0, \zeta_1]$ 内，当 $c = o(1/\alpha^2)$ 时，对于足够小的 $\alpha$，有 $\zeta_1 > \alpha^2$，且 $\psi(\alpha^2)$ 是局部最大值。
- 另一个在区间 $[\zeta_2, \alpha]$ 内，记为 $\zeta_3$。当 $c = \frac{(2 + o(1)) \ln(1/\alpha)}{\alpha}$ 时，$\frac{\zeta_2}{\alpha} = 1 - \delta_2$，其中 $\delta_2 = \frac{1 + o(1)}{\ln(1/\alpha)}$；当 $c = \frac{1}{\alpha}(2 \ln(1/\alpha) + 2 - o(1))$ 时，$\frac{\zeta_3}{\alpha} = 1 - \delta_3$，其中 $\delta_3 = \frac{1 + o(1)}{e\sqrt{\alpha}}$。对于任意常数 $x > \frac{4}{e}$，当 $c = \frac{2 \ln(1/\alpha) + 2 - x\sqrt{\alpha}}{\alpha}$ 时，对于足够小的 $\alpha$，有 $\psi(\zeta_3) < 0$。

下面是计算过程的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[计算一阶矩E[X]];
    B --> C[计算二阶矩E[X^2]];
    C --> D[计算φ(ζ)];
    D --> E[证明φ在ζ = α^2处取最大值];
    E --> F[寻找和界定最大值];
    F --> G[结束];

3. 局部可采样源的随机性提取问题

在随机性提取的研究中，目标是从物理随机源中提取接近均匀分布的随机数。通常使用最小熵来衡量源中的随机量。传统的种子提取器虽然能处理任意高最小熵的源，但对于有一定结构的物理源，可能存在过度设计的问题。

有几类源已经有了较好的确定性提取器，例如：
- 独立源：将 $n$ 位划分为若干块，各块之间统计独立。
- 位固定源。
- 仿射源。
- 多项式源。
- 代数簇。

Trevisan 和 Vadhan 考虑了可由高效算法采样的源的确定性提取器，但他们的构造依赖于标准的复杂性理论猜想。因此，研究更受限类型的算法，如小空间算法和有界深度电路，以获得无条件的结果。Kamp 等人成功为小空间采样器构造了确定性提取器。

然而，为 AC0 类型电路可采样的源构造无条件确定性提取器仍是一个开放问题。本文的目标是为小深度、有界扇入门的电路可采样的源（对应 NC0 类）构造提取器。

主要结果是构造了一个确定性提取器，对于任意具有 $n$ 位、最小熵为 $k$ 的 $d$ - 局部源，当 $d \leq o(\log n)$ 且 $k \geq n^{2/3 + \gamma}$（对于任意小的常数 $\gamma > 0$）时，能提取 $\Omega(k^2/nd)$ 位，这些位与均匀分布的统计距离为 $2^{-n^{\Omega(1)}}$。同时，改进了 Viola 的结果，将统计距离下界提高到 $1/2 - 2^{-n^{\Omega(1)}}$，并消除了对随机位数的限制。

下面是随机性提取的步骤总结：
1. 确定源的类型和参数（$n$、$k$、$d$ 等）。
2. 检查是否满足条件 $d \leq o(\log n)$ 且 $k \geq n^{2/3 + \gamma}$。
3. 使用构造的确定性提取器进行随机性提取。
4. 验证提取的位与均匀分布的接近程度。

步骤	操作
1	确定源的类型和参数
2	检查条件
3	使用提取器提取
4	验证接近程度

随机图中的独立集与局部可采样源的随机性提取

4. 相关定理的证明

• 引理 3.1 的证明 ：
  将 $\zeta = \alpha^2$ 代入 $\psi’‘(\zeta)$ 的表达式：
  [\psi’‘(\alpha^2) < \frac{c}{(1 - \alpha)^4} - \frac{1}{\alpha^2}]
  当 $c = o(1/\alpha^2)$ 时，对于足够小的 $\alpha$，上式为负。这意味着 $\zeta_1 > \alpha^2$，且 $\psi(\alpha^2)$ 是局部最大值。

• 引理 3.2 的证明 ：
  设 $\frac{\zeta}{\alpha} = 1 - \delta$，其中 $\delta = \frac{b}{\ln(1/\alpha)}$，代入 $\psi’‘(\zeta)$ 的表达式可得：
  [\psi’‘(\zeta) = \left(2 - \frac{2}{b} + o(1)\right) \frac{\ln(1/\alpha)}{\alpha} - O(1/\alpha)]
  当 $b \neq 1$ 时，对于足够小的 $\alpha$，若 $b < 1$，$\psi’‘(\zeta)$ 为负；若 $b > 1$，$\psi’‘(\zeta)$ 为正。所以 $\frac{\zeta_2}{\alpha} = 1 - \delta_2$，其中 $\delta_2 = \frac{1 + o(1)}{\ln(1/\alpha)}$。

• 引理 3.3 的证明 ：
  由引理 3.2 可知 $\zeta_3 = \alpha(1 - \delta)$，其中 $\delta < \frac{1 + o(1)}{\ln(1/\alpha)}$。将 $\zeta = \alpha(1 - \delta)$ 代入 $\psi’(\zeta)$ 的表达式，并利用 $\frac{1}{(1 - \alpha)^4} = 1 + O(\alpha)$ 和 $-\ln(1 - x) = O(x)$ 进行化简：
  [\psi’(\zeta) = \alpha c + \ln \alpha + 2 \ln \delta + O(\alpha \delta c) + O(\alpha^2 c)]
  设 $\delta = \frac{b\sqrt{\alpha}}{e}$，则：
  [\psi’(\zeta) = \alpha c + 2 \ln \alpha + 2 \ln b - 2 + O(\alpha^{3/2} c)]
  再设 $c = \frac{2 \ln(1/\alpha) + 2 - \varepsilon}{\alpha}$，可得：
  [\psi’(\zeta) = 2 \ln b - \varepsilon + o(1)]
  当 $\varepsilon = o(1)$ 且 $b \neq 1$ 时，对于足够小的 $\alpha$，若 $b < 1$，$\psi’(\zeta)$ 为负；若 $b > 1$，$\psi’(\zeta)$ 为正。所以 $\frac{\zeta_3}{\alpha} = 1 - \delta_3$，其中 $\delta_3 = \frac{1 + o(1)}{e\sqrt{\alpha}}$。

• 引理 3.4 的证明 ：
  将 $\zeta = \alpha(1 - \delta)$，其中 $\delta = \frac{b\sqrt{\alpha}}{e}$ 代入 $\psi(\zeta)$ 的表达式，并利用泰勒级数 $\frac{1}{(1 - \alpha)^4} = 1 + 4\alpha + O(\alpha^2)$ 和 $-\ln(1 - x) = x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$ 进行化简：
  [\psi(\zeta) = \alpha(\ln \alpha - 1) - \left(\frac{2b \ln \alpha - 4b + 2b \ln b}{e}\right) \alpha^{3/2} + \left(c + \frac{1}{2} - \frac{b^2}{2e^2}\right) \alpha^2 - \frac{b}{e} \alpha^{5/2} c + \left(\frac{b^2}{2e^2} + 1\right) \alpha^3 c + O(\alpha^{7/2} c) + O(\alpha^{5/2})]
  设 $c = \frac{2 \ln(1/\alpha) + 2 - x\sqrt{\alpha}}{\alpha}$，使得与 $\alpha \ln \alpha$、$\alpha$ 和 $\alpha^{3/2} \ln \alpha$ 成比例的项相互抵消，得到：
  [\psi(\zeta) = \left(\frac{2b(1 - \ln b)}{e} - \frac{x}{2}\right) \alpha^{3/2} + O(\alpha^2)]
  当 $b = 1$ 时，$\alpha^{3/2}$ 的系数最大，且当 $x > \frac{4}{e}$ 时，该系数为负。因此，对于足够小的 $\alpha$，有 $\psi(\zeta_3) < 0$。

• 推论 1.2 的证明 ：
  首先，$\alpha_0 = \frac{2}{c} W\left(\frac{e c}{2}\right)$ 是方程 $c = \frac{2 \ln(1/\alpha_0) + 1}{\alpha_0}$ 的根。因为可以将其写成 $e^{c\alpha/2} = \frac{e}{\alpha_0}$，两边同时乘以 $\frac{c\alpha_0}{2}$ 可得 $\frac{c\alpha_0}{2} e^{c\alpha_0/2} = \frac{e c}{2}$，根据 $W$ 的定义可得上述结论。
  方程 $c = \frac{2 \ln(1/\alpha) + 1}{\alpha} - \frac{x}{\sqrt{\alpha}}$ 的根 $\alpha$ 至少为 $\frac{2}{c} W\left(\frac{e c}{2}\right) + (x + o(1)) \frac{\partial \alpha_0}{\partial c} \frac{c}{2 \ln c}$，由于 $\alpha = (1 + o(1)) \frac{2 \ln c}{c}$ 且 $\frac{\partial^2 \alpha_0}{\partial^2 c} \geq 0$，又因为 $\frac{\partial \alpha_0}{\partial c} = -(1 + o(1)) \frac{2 \ln c}{c^2}$，结合定理 1.1 可得出推论。

5. 总结与展望

在随机图独立集的研究中，通过加权二阶矩方法，克服了集合间相关性带来的问题，得到了关于临界值的重要定理和边界。在寻找和界定最大值的过程中，对相关函数的导数进行分析，确定了局部最大值的位置和性质。

在局部可采样源的随机性提取方面，成功为 NC0 类电路可采样的源构造了确定性提取器，改进了之前的结果。

未来可以进一步探索以下方向：
- 对于随机图独立集，尝试更精确地估计临界值，研究不同参数下的图结构对独立集的影响。
- 在随机性提取领域，继续研究为更复杂类型的电路可采样的源构造确定性提取器，提高提取效率和提取位与均匀分布的接近程度。

下面是未来研究方向的列表：
1. 精确估计随机图独立集临界值。
2. 研究不同参数下随机图结构对独立集的影响。
3. 为更复杂电路可采样的源构造确定性提取器。
4. 提高随机性提取效率和提取位的均匀性。

graph TD;
    A[随机图独立集研究] --> B[精确估计临界值];
    A --> C[研究参数对图结构和独立集的影响];
    D[随机性提取研究] --> E[为复杂电路源构造提取器];
    D --> F[提高提取效率和均匀性];