56、仿射不变局部可测试码的速率限制

仿射不变局部可测试码的速率限制

1. 基本定义与主要结果

在编码理论中，我们首先需要了解一些基本的定义和概念。
- 符号说明 ：
- 用 $[n]$ 表示集合 ${1, \ldots, n}$。
- 用 $F, K, L$ 表示域，$F_q$ 表示 $q$ 元有限域。
- 一个 $[N, K, D] F$ -（线性）码 $C$ 是 $F^N$ 中维数为 $K$ 且汉明距离为 $D$ 的子空间，$C$ 中的元素称为码字。
- 两个向量 $u, w \in F^N$ 若汉明距离 $\leq \delta N$，则称它们是 $\delta$ - 接近的，否则是 $\delta$ - 远离的。向量 $u$ 若与 $C$ 中的某个码字 $\delta$ - 接近，则称 $u$ 与 $C$ 是 $\delta$ - 接近的，否则是 $\delta$ - 远离的。
- 定义 $\langle u, w \rangle \triangleq \sum {i = 1}^{N} u_i w_i$，$C^{\perp} = {u \in F^N | \langle u, w \rangle = 0, \forall w \in C}$ 表示 $C$ 的对偶空间（也称为对偶码）。
- 测试器与局部可测试码 ：
- 测试器（Tester） ：对于一个 $[N, K, D]_F$ 码 $C$，一个 $k$ - 查询测试器 $T$ 是一个概率性的神谕算法，它对一个字 $w \in F^N$ 最多进行 $k$ 次神谕查询，并输出接受/拒绝