51、硬度放大查询复杂度的下界研究

硬度放大查询复杂度的下界研究

1. 硬度放大的定义

首先，对于函数通用的硬度放大，有如下定义：设 $\epsilon$、$\delta$、$a$ 和 $\ell$ 为参数。一个展示基本硬度放大（针对参数 $\epsilon$、$\delta$、$a$ 和 $\ell$）的函数通用归约是一个对 $(Amp, R)$，其中 $Amp$ 是一个从函数 $f : {0, 1}^k \to {0, 1}$ 到函数 $Amp(f) : {0, 1}^n \to {0, 1}^\ell$ 的映射，并且对于每个函数 $f : {0, 1}^k \to {0, 1}$，$R(\cdot)$ 是一个展示 $f$、$g = Amp(f)$、$\epsilon$、$\delta$ 和 $a$ 的基本硬度放大的非一致归约。

这个定义也用于定义从温和平均情况到平均情况硬度放大的类似概念。对于布尔温和平均情况到平均情况硬度放大的特殊情况，此定义等价于“黑盒硬度放大”的概念。而且，函数通用的硬度放大等价于某些可列表解码的纠错码的变体。

2. 研究结果

2.1 函数通用的硬度放大

文献中绝大多数硬度放大是展示最坏情况到平均情况硬度放大（或温和平均情况到平均情况硬度放大）的函数通用归约。据了解，文献中的所有证明都符合上述定义。由于与纠错码的联系，在“列表解码区域”（即 $\epsilon < 1/4$），这些设置下的归约不能是半一致的，因此 Rudich 的论证不适用于为这些归约给出下界。

下面的定理 1 证明了展示基本硬度放大的函数通用归约所进行的查询次数的下界：
定理 1（函数通用归约的主要定理）