46、最大四重奏一致性PTAS解读

最大四重奏一致性PTAS解读

在生物学和进化研究中，系统发育树是一种重要的工具，用于表示物种之间的进化关系。然而，从实际数据中构建准确的系统发育树是一个具有挑战性的问题，尤其是当数据量巨大时。本文将探讨最大四重奏一致性（MQC）问题及其近似算法，以及如何在采样数据的情况下高效地解决该问题。

1. 预备知识

• 系统发育树 ：无根系统发育树是一种树，其内部顶点的度数均为3，叶子节点由一些分类单元集（代表现存物种）标记。对于树$T$，用$L(T)$表示对应于$T$叶子节点的分类单元集。
• 子树诱导 ：设$T$是一棵树，$A⊆L(T)$是$T$叶子节点的一个子集，$T_A$是由$A$诱导的$T$的子树，即从$T$中移除$L(T)\backslash A$中的所有叶子节点以及仅通向它们的路径，然后收缩度数为2的内部顶点得到的树。
• 树的满足与违反 ：对于两棵树$T$和$T’$，如果$L(T’)⊆L(T)$且$T_{L(T’)}=T’$，则称$T$满足$T’$，否则$T$违反$T’$。对于一组可能有重叠叶子节点的树$T = {T_1, \ldots, T_k}$，用$T_s(T)$表示$T$中被$T$满足的树的集合。如果存在一棵树$T^ $，它定义在叶子节点集合$\cup_iL(T_i)$上，并且满足$T$中的每棵树$T_i$，则称$T$是一致的，否则$T$是不一致的。当$T$不一致时，寻找一棵定义在$\cup_iL(T_i)$上的树$T^ $，使得某个目标函数最大化，$T^ $称为超树，寻找$T^