41、改进的最小最大树覆盖和有界树覆盖问题近似算法

改进的最小最大树覆盖和有界树覆盖问题近似算法

在图论和运筹学领域，图的覆盖问题一直是研究的热点。本文聚焦于最小最大树覆盖问题（Min - Max k - Tree Cover Problem，MMkTC）和有界树覆盖问题（Bounded Tree Cover Problem，BTC），提出了改进的近似算法。

问题背景与定义

在许多实际应用中，如车辆路径规划，需要用特殊子图（如树、路径或循环）覆盖给定图的顶点，并对使用的子图数量或其权重进行限制。

• 最小最大k - 树覆盖问题（MMkTC） ：给定加权图(G=(V, E))和正整数(k)，目标是找到一个由(k)棵树组成的树覆盖，使得覆盖中最大树的权重最小。
• 有界树覆盖问题（BTC） ：给定加权图(G)和参数(\lambda)，目标是找到一个树覆盖，使用最少数量的树，且每个树的权重最多为(\lambda)。

相关工作

以往的研究中，针对MMkTC问题，Even等人和Arkin等人分别给出了两种不同的4 - 近似算法，且证明了该问题是APX - 困难的，下界为(\frac{3}{2})。对于BTC问题，Arkin等人给出了3 - 近似算法，并且即使在(G)是高度为1的加权树的情况下，该问题也是APX - 困难的。

预备知识

在解决这两个问题之前，有几个重要的概念和引理需要了解。

• 树权重 ：对于连通子图(H⊆G)，其树权重(WT(H))指的是(H)的最小生成