21、近似算法：调度与树增强问题的高效求解

近似算法：调度与树增强问题的高效求解

1. (2 + ϵ)-近似算法求解调度问题

1.1 算法概述

在调度问题 1|| fj 中，我们旨在找到一个多项式时间的 (2 + ϵ)-近似算法。具体做法是通过一种标准的舍入方式简化输入，然后对简化后的输入进行线性规划（LP）松弛，并运行原始对偶算法。该算法仅包含多项式数量的区间索引变量。

1.2 输入简化步骤

1. 构建时间索引分区 ：
   • 固定常数 ϵ > 0，针对每个作业 j，依据其成本函数对时间索引 {1, …, T} 构建 n 个分区。
   • 定义不同类别的时间索引集合：
     • 类 0：I0j = {t : fj(t) = 0}。
     • 类 1：I1j = {t : 0 < fj(t) ≤ 1}。
     • 类 k（k = 2, 3, …）：Ikj = {t : (1 + ϵ)k−2 < fj(t) ≤ (1 + ϵ)k−1}。作业 j 的类别数量可由 1 + log1+ϵ fj(T) 界定。
   • 令 ℓkj 表示 Ikj 中的最小元素（若集合非空），Tj 为所有左端点 ℓkj 的集合，最终 T = ∪nj=1Tj，且时间 t = 1 属于 T。将 T 中的元素索引为 T := {t1, …, tτ}，其中 1 = t1 < t2 < … < tτ。
2. 计算主分区