18、吞吐量最大化的资源调度

吞吐量最大化的资源调度

初步处理与集合更新

首先，从集合 $J$ 中删除集合 $Y$ 里的所有作业，从集合 $B$ 中删除集合 $L$ 里的所有切片，得到新的集合 $J’$ 和 $B’$。可以发现，集合 $J’$ 中的作业能够“适配”集合 $B’$ 中的切片，即任意时刻 $t$，满足 $|A_t(J’)| \leq |A_t(B’)|$。这是因为在任意时刻 $t$，$|A_t(Y)| \geq \min{|A_t(L)|, |A_t(J)|}$。接下来，对新集合 $J’$ 和 $B’$ 迭代执行整个过程，收集每次迭代生成的集合 $Y’$，并令 $Z$ 为这些集合的并集。此时，有 $profit(Z) \geq profit(J)/4$，且集合 $Z$ 中的每个作业 $j$ 最多分配到两个资源。

每个资源区间 $I$ 作为左区间和右区间被使用时，最多服务 $h(I)$ 个作业。

解的类型与“好”解的定义

设 $S$ 是满足引理 1 的解，该解服务的作业有两种类型：
- $J^{(1)}(S)$：由 $S$ 中恰好一个资源区间处理的作业。
- $J^{(2)}(S)$：由 $S$ 中两个选定的资源区间服务的作业。

设 $C$ 是 $S$ 选定的资源区间集合。对于作业 $j \in J^{(2)}(S)$，根据引理 1，它使用两个资源区间 $I_1, I_2 \in C$，其中 $I_1$ 为左区间，$I_2$ 为右区间。

若一个解 $X$ 满足以下性质，则称其为“好”解：
1. $X$ 满足引理 1 的条件。
2. $X$ 选定的每个资源区间 $I$ 仅作为 $J^{(2)}(X)