22、概率系统测试理论：从连续时间马尔可夫链到测试过程

概率系统测试理论：从连续时间马尔可夫链到测试过程

1. 动作标记连续时间马尔可夫链（aCTMCs）

动作标记连续时间马尔可夫链（aCTMCs）是随机过程代数（如 TIPP、EMPA 和 PEPA）的基础模型，也是连续时间马尔可夫链的动作标记扩展。与完全概率过程不同，aCTMCs 在连续时间中运行，每个状态都关联一个指数分布的停留时间 X。转移概率被速率取代，过程在相应状态停留 X 个时间单位，并根据速率隐含给出的概率选择后续状态。因此，aCTMCs 可以对具有时间依赖性和随机性的现实世界系统进行建模。

一个 aCTMC M 由元组 (SM, →M, sM) 定义：
- SM 是可数的状态集合。
- →M ⊆ SM × (Actτ × R>0) × SM 是转移关系。
- sM ∈ SM 是初始状态。

对于所有 s ∈ SM，退出速率 E(s) 是有限的，其计算公式为：
[E(s) = \sum_{s’,a,r:(s,a,r,s’)\in\rightarrow_M} r]

我们用 (s \xrightarrow{(a,r)}_M s’) 表示 ((s, a, r, s’) \in \rightarrow_M)。每个转移都有一个由速率 r 决定的随机延迟。如果 s 只有一个后续状态 s’，则到 s’ 的 a 转移会在一个指数分布的时间延迟后发生。如果 s 有多个转移，当进入 s 状态后，所有可能的外出转移会开始“竞争”。每个转移会生成一个关于 r 的指数分布随机数，值最小的转移获胜，即经过最短延迟后，转移到相应状态。

例如，图 9.4 展示了一个 aCTMC M = (SM, →M, sM)，其中