无向图的双连通分量

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本文详细介绍了无向图的双连通分量及其算法实现，重点讲解了Tarjan算法，一种高效求解双连通分量的方法。通过实例代码展示了如何使用DFS深度优先搜索确定无向图中的双连通分量，并计算最少加边数量使所有点成为双连通分量中的点。

无向图的双连通分量

边双连通分量

指极大的不存在桥的联通分量.去掉桥会使图不连通.

tarjan算法,时间复杂度O(n+m)

1.以未建立时间戳的点为起点进行dfs,将该点压入栈中,建立该点的时间戳(f数组)并初始化从该点出发的最小的时间戳(mf数组).

2.遍历以该点为起点的所有终点,若未建立时间戳则继续进行dfs,结束后更新mf数组;否则若不为来时的边上的点,也更新mf数组.如果终点的mf值大于该点的f值,说明这条边是桥.

3.递归回到该点后,该点的mf值如果等于f值表示它是一个双连通分量的最高点,此时不断出栈至该点即可得到这个双连通分量的所有点集.

4.若要转换为树,遍历所有边,如果不在同一个双连通分量中,在这两个双连通分量之间连边.

最少加(cnt+1)/2向下取整条边把无向图中的所有点转换成双连通分量中的点,cnt为缩点后的度为1的点的个数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=5e3+10,M=2e4+10;
int h[N],nex[M],to[M],con=0,ts=0,dcc=0,id[N],deg[N],c[M];
int f[N],mf[N],in_stack[N];
void add(int a,int b)
{
    nex[con]=h[a];
    h[a]=con;
    to[con]=b;
    c[con++]=a;
}
stack<int>s;
void dfs(int x,int from)
{
   // cout<<x<<endl;
    f[x]=mf[x]=++ts;
    s.push(x);
    in_stack[x]=1;
    for(int i=h[x];i>=0;i=nex[i])
    {
        int t=to[i];
        if(!f[t])
        {
            dfs(t,i);
            mf[x]=min(mf[x],mf[t]);
         //   cout<<x<<' '<<f[x]<<' '<<t<<' '<<mf[t]<<endl;
            if(mf[t]>f[x])
            {这条边是桥;}
        }
        else if(i!=(from^1))
        mf[x]=min(mf[x],mf[t]);
    }
    if(f[x]==mf[x])
    {
        int t;
        do
        {
            t=s.top();s.pop();
            in_stack[t]=0;
            id[t]=dcc;
        }while(t!=x);
        dcc++;
    }
}
int main()
{
    int f,r;cin>>f>>r;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    for(int i=0;i<r;++i)
    {
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);add(b,a);
    }
    dfs(1,-1);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<con;i+=2)
    {
        if(id[c[i]]!=id[to[i]])
        {
            deg[id[c[i]]]++,deg[id[to[i]]]++;
        }
    }
    for(int i=0;i<dcc;++i)
    {
        if(deg[i]==1)
        ans++;
    }
    cout<<(ans+1)/2<<endl;
    return 0;
}