代数系统与群论基础概念-优快云博客

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第五章代数系统

一，二元运算及其性质

1.1二元运算

设A为集合，函数f: $\text{[math]}$ 称为A上的二元运算，简称为二元运算

1.2封闭性

满足以下两点：

（1）A中的任何两个元素都可以进行这种运算，且运算结果唯一

（2）A中的任何两个元素的运算结果都属于A，即A对该运算封闭的。

1.3交换律

设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的 $\text{[math]}$ ,则称该二元运算*是可交换的。

1.4结合律

设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的下， $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，则称该二元运算*是可结合的。

1.5分配律

设*，△是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于任意的 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则称运算*对于运算△是可分配的

1.6吸收律

设*，△是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的 $\text{[math]}$ ,都有 $\text{[math]}$ 则称运算*和运算△满足吸收率

1.7幂等律

设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的 $\text{[math]}$ ,都有 $\text{[math]}$ 则称运算*适合幂等律。

幂等元

如果A中的某些x满足 $\text{[math]}$ ，则x为运算*的幂等元。如果A上的二元运算*适合幂等律，则S中的所有元素都是幂等元.

1.8单位元

若e关于*运算既是左单位元又是右单位元，则称e为A上关于*运算的单位元。单位元也可以称作幺元。

左单位元（或右单位元）

设*为A上的二元运算，如果存在 $\text{[math]}$ ,使得对任何 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 则称 $\text{[math]}$ 是A中关于*运算的一个左单位元（或右单位元）。

定理

设*为A上的二元运算， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为*运算的左单位元和右单位元，则有 $\text{[math]}$ 且e为A上关于*运算的唯一的单位元。

1.9零元

若 $\text{[math]}$ 关于运算*既是左零元又是右零元，则称 $\text{[math]}$ 为S上关于*运算的零元

左零元（右零元）

设*为A上的二元运算，若存在元素 $\text{[math]}$ ,使得对于任意的 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ 则称 $\text{[math]}$ 是A上关于*运算的左零元（右零元）。

定理

设*为A上的二元运算， $\text{[math]}$ 分别为*运算的左零元和右零元，则有 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 是A上关于*运算的唯一零元。

1.10逆元

若 $\text{[math]}$ 既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y是x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。

左逆元（右逆元）

设*为A上的二元运算，e为*运算的单位元，对与 $\text{[math]}$ 如果存在 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ),使得 $\text{[math]}$ 则称 $\text{[math]}$ 是x的左逆元（或右逆元）

定理

设*为A上的可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于 $\text{[math]}$ 如果存在左逆元 $\text{[math]}$ 和右逆元 $\text{[math]}$ ,则有 $\text{[math]}$ 且y是x的唯一逆元

消去律：

设*为A上的二元运算，如股票对于任意的 $\text{[math]}$ ,满足以下条件:

（1）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ;

（2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ；

那么称运算*满足消去律，其中（1）是左消去律，（2）是右消去律

(被消去元不能是运算的零元 $\text{[math]}$ )

二代数系统

2.1代数系统

一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算 $\text{[math]}$ 所组成的系统就称为一个代数系统，记作 $\text{[math]}$ 。

代数常数

单位元，零元

2.2同类型的代数系统

如果两个代数系统中的运算的个数相同，相同位置（对应）的运算的元数相同，且代数常熟也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分。

2.3子代数系统（子代数）

设V= $\text{[math]}$ 是代数系统，如果 $\text{[math]}$ ，如果B对 $\text{[math]}$ 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称 $\text{[math]}$ 是V的子代数系统。

2.4平凡子代数

对于代数系统V= $\text{[math]}$ ，最大的子代数是V本身，如果令V中的所有代数常数构成的集合B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B构成V的最小子代数，这种最大和最小的子代数称为V的平凡子代数。

真子代数

如果B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数。

三代数系统的同态与同构

3.1同态映射（同态）

设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是同类型的代数系统，f： $\text{[math]}$ ,且 $\text{[math]}$ 有

$\text{[math]}$

则称f是 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的同态映射，简称为同态。

3.2同态的分类

单同态

f是单射函数

满同态

f是满射函数，这时称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的同态像，记作 $\text{[math]}$

同构

f是双射，则称作同构，也称作代数系统 $\text{[math]}$ 同构于 $\text{[math]}$ ，记作 $\text{[math]}$

自同态

如果同态映射f是V到V的，则称f是自同构。

3.3 同态的性质

设f是 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的同态映射。

如果 $\text{[math]}$ 运算具有交换律，结合律，幂等律等，那么在同态像 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 运算也具有相同的运算律。且代数常数符合 $\text{[math]}$

第六章群与环

一半群

1.1半群

S是个非空集合，*是S上的二元运算，如果在S上满足封闭性，可结合性，则 $\text{[math]}$ 是半群。

1.2交换半群

$\text{[math]}$ 是半群，如果*是可交换的，则称它是交换半群。

1.3子半群

$\text{[math]}$ 是半群，如果 $\text{[math]}$ ,且*在B上是封闭的，那么 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的子半群。

1.4定理

设 $\text{[math]}$ 是半群，如果S是有限集合，则必存在 $\text{[math]}$ ,使得 $\text{[math]}$

二独异点

2.1独异点

设 $\text{[math]}$ 是个半群，若 $\text{[math]}$ 是关于*运算的单位元，则称V是含幺半群，也称作独异点。

2.2交换独异点

$\text{[math]}$ 是独异点，若*是可交换的，则称它是可交换的独异点。

2.3子独异点

$\text{[math]}$ 是个独异点， $\text{[math]}$ ，如果*运算在B上封闭，且幺元 $\text{[math]}$ ,则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的子独异点。

2.4定理

设 $\text{[math]}$ 是交换独异点，A是S中所有幂等元构成的集合，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的子独异点。

三群

3.1 群

设 $\text{[math]}$ 是个独异点（封闭，可结合，含幺元），且每个元素可逆，则称它是个群。

3.2 有限群

令 $\text{[math]}$ 是群，G是有限集，则称它是有限群。

3.3群的性质

3.3.1可消去性

设 $\text{[math]}$ 是个群，则对任何 $\text{[math]}$ ,如果有

（1） a*b=a*c，则b=c；

（2） b*a=c*a，则b=c；

3.3.2群方程有唯一解

设 $\text{[math]}$ 是个群，则对任何 $\text{[math]}$ ，

（1）存在唯一元素 $\text{[math]}$ ,使得a*x=b

（2）存在唯一元素 $\text{[math]}$ ，使得y*a=b

3.3.3群中无零元

设 $\text{[math]}$ 是群，则G中无零元。（零元不存在逆元）

3.3.4群中除幺元外，无其他幂等元

设 $\text{[math]}$ 是个群，G中除幺元外，无其他幂等元。

3.3.5定理

$\text{[math]}$ 是个群，对任何 $\text{[math]}$ ，有

（1） $\text{[math]}$

（2） $\text{[math]}$

推论：

$\text{[math]}$ 是个群，对任何 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$

规定：