约瑟夫环（1）-双向链表

问题描述:约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。(摘自百度百科)

问题分析:约瑟夫环是一个数学问题，但是其实并不需要急于列出列出约瑟夫环的数学解法(约瑟夫环的数学解法时间复杂度最好，空间复杂度也最低，后续文章将有介绍)。为了能让计算机解决这个数学问题，我们要做的是让计算机去模拟实现这一个过程。约瑟夫环整个过程其实重复做一件事，是从当前位置寻找m个位置之后的人，然后将这个人踢出去。因为总的人数是有限的，那么必然是数到尾部又从新回到开头。这篇文章使用双链表实现这个过程。

为了能够实现约瑟夫环，我们要进行更深入分析这个过程，从而确定我们要在双链表上附加哪些功能。

上图是一个双向链表，双向链表的特点是每个节点都拥有对前一个和后一个节点的地址，也就是一个prev和一个next

typedef struct Node
{
	ElementType Data;
	struct Node *Prev;
	struct Node *Next;
}Node;
typedef Node *DoubleLinkedList;
typedef Node *PtrToNode;

这个结构将是这篇文章用的数据结构。

接下来，我们回到约瑟夫环问题，我们要考虑一些函数，这些函数的功能加到双链表以后，我们能完成约瑟夫环的功能。

首先，我们需要一个DeleteIth()函数，这个函数的功能是删除第i个元素。  为什么需要这个函数?    因为我们的约瑟夫环每一个循环都是要删除一个元素的，而且约瑟夫环的进行过程是只针对序列号的，与数据区域并没有关系，所以我们需要一个能删除第i个元素的函数，而不需要一个根据数据域来删除元素的函数

void DeleteIth(DoubleLinkedList L,int i);

接下来，我们继续分析一下，为了要删除第i个元素，那么你是否就需要第i个元素的地址？  所以，我们需要LocateIth()函数用来获得第i个元素的地址

PtrToNode LocateIth(DoubleLinkedList L,int i);

最后，我们需要的另一个函数是约瑟夫环的灵魂问题。约瑟夫环问题说简单一点就是不断地删除节点，每一次过程删除一个节点，直到所有人都被删除为止。那么这个过程是个

什么过程？ 

抛弃一些多余的东西后，约瑟夫环每次删除的过程是从当前位置寻找之后m个人的过程。这个过程麻烦在，我们一共就那么多人，从你开始的人数起，这之后的人都数光

了，还没有到m，怎么办？哈，其实问题很简单，每次你数到尾巴了，我就让你回到列表第一个人开始继续计数不就行了？   这个过程可以通过countNext()实现

int CountNext(DoubleLinkedList L,int k,int m);

把链表传进去的原因是用来确定链表的长度的，k表示从第k个人数起,m表示数m个人

 

实例解析:

假设，现在我们有七个人，他们的数据分别是 3 1 7 24 8 4 ，我们从第2个人开始数起，每次数3个人

 

第一次:从第2个人开始数3个人，我们调用CountNext（L，2,3）来实现，它应该返回4，删除链表中的第四个元素，也就是2。因为CountNext返回的是要删除的元素的序列号，

所以我们可以通过调用DeleteIth(L,4)来删除这个元素，删除之后的列表变为  3 1 7 48 4

 

第二次:删除2以后，我们接下来要从2的下一个元素4开始往后面数3个人来实现，也就最后一个数4，通过调用CountNext(L,4,3)应该返回7，然后我们通过调用DeleteIth(L,7)来

删除最后一个元素，列表变为 3 1 7 24 8

 

第三次：第二次删除的4我们已经到最后一个元素了，为了能继续数，我们应该为CountNext里面的k设置为1了，这时候对列表调用CountNext(L,1,4)，然后删除对应元素

 

....

第七次：......

 

 

再次分析约瑟夫过程:

通过上面的实例分析，我们不难发现，在每次这样的重复中，一直在更改的便是CountNext(L,k,m)中的k这个参数，我把它看做每次循环的初始位置，叫做intialLocation，

每次循环过程中都要更新这个intialLocation()从而能正确寻找到下一个要删除的元素。

<pre name="code" class="cpp">代码实现(部分):

<pre name="code" class="cpp">int CountNext(DoubleLinkedList L,int k,int m)
{
	int Length=ListLength(L);
	int count=1;   //计数，计算当前数过了多少个元素
	int i,j;
	i=k;
	while(count<m)
	{
		if(i+1<=Length)
		{
			i++;
			count++;
		}
		else if(i+1>Length)   //当访问超过了数组长度，我们要让他回到1
		{
			i=1;
			count++;
		}
	}
	return i;
}

</pre><pre name="code" class="cpp">约瑟夫过程

<pre name="code" class="cpp">	while(!Empty(L))  //只要元素没有删除完，就一直持续约瑟夫过程
	{
	<span>	</span>int Length=ListLength(L);
		nextLocation=CountNext(L,initLocation,m);//获得要删除元素的索引

		DeleteIth(L,nextLocation);  //删除这个元素
		if(nextLocation==Length) //如果这个元素是最后一个元素，那么他的下一个元素应该是链表的第一个元素
		{
			initLocation=1;
		}
		else
		{
			initLocation=nextLocation;//如果删除的元素不是最后一个元素，下一轮循环的初始位置设置为删除的位置

<span>						</span>//!!!因为链表的长度减少1了，所以初始位置并不需要要加1！！！
		}
	}
			

总结:

这篇文章是通过双线链表来实现的，时间复杂度到达O（mn) ，当问题范围很大的时候根本不可取，空间复杂度为O（n)，当n很大的时候，同样不可取。

接下来的文章会通过循环链表和数组以及数学方法实现。本人更推崇数学解法，因为数学解法的时间复杂度是O（n)，另外几个都是O（mn),想比较起来速度快太多，而空间复杂度和另外几个相差并不大