算法基础篇（5）前缀和

前缀和与差分的核心思想是预处理，可以在暴力枚举的过程中，快速给出查询结果，从而优化时间复杂度。是经典的空间换时间的做法。

1、一维前缀和

1.1 【模板】前缀和

算法思路：

思路一：根据之前学的模拟算法暴力求解，但是这样的话时间复杂度为O(n * q)，而n和q的值在10^5之间，所以时间复杂度过高，程序会存在超时的风险。

思路二：题目要求快速频繁地求出数组中某一段区间的和，这种情况下用前缀和算法是更优的。

先预处理出来一个前缀和数组f[i]，f[i]表示区间[1，i]中所有元素的和，那么就可以得到递推公式：f[i] = f[i - 1] + a[i]。那为什么不用for循环来遍历得到f[i]中的值呢？这样会导致时间复杂度变为O(n^2)。那么如何利用前缀和数组呢？假如此时要计算区间[L,r]之间的和，只需要用f[r] - f[L - 1]即可。

注意：使用前缀和数组时，下标必须从1开始计数。

参考代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int n, q;

long long a[N];
long long f[N]; //前缀和数组

int main()
{
	cin >> n >> q;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		cin >> a[i];
	}
	
	//处理前缀和数组
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		f[i] = f[i - 1] + a[i];
	}
	
	//处理q次询问
	while(q--)
	{
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		cout << f[r] - f[l - 1] << endl;
	}
	
	return 0;
}

1.2 【经典】最大子段和

算法思路：利用前缀和

在解决这道题之前，先思考一个问题：怎么求以a[i]为结尾的所有区间中最大的子段和呢？用f[i]减去前面区间的和，也就是f[i] - f[x]，其中1 <= x <= i - 1。想要让该式子的值最大，也就是让减数f[x]最小就可以了。所以，这道题就是用f[i]减去[1，i-1]中所有前缀和的最小值即可。

参考代码：

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int n;
long long f[N]; //前缀和数组

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		long long x;
		cin >> x;
		f[i] = f[i - 1] + x;
	}

	long long ret = -1e20;
	long long prevmin = 0;

	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		ret = max(ret, f[i] - prevmin);
		prevmin = min(prevmin, f[i]);
	}

	cout << ret << endl;

	return 0;
}

2、二维前缀和

2.1 【模板】二维前缀和

算法思路：二维前缀和->快速查询二维数组中，某一个子矩阵中所有元素的和

第一步：预处理出来二维前缀和矩阵f[i][j]，表示从[1,1]到[i，j]区域内，所有元素的和。

第二步：用前缀和矩阵解决问题。

参考代码：

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];
int n, m, q;

int main()
{
	cin >> n >> m >> q;
	//预处理前缀和矩阵
	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for (int j = 1;j <= m;j++)
		{
			int x;
			cin >> x;
			f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + x;
		}
	}

	//处理q次查询
	while (q--)
	{
		int x1, y1, x2, y2;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		cout << f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
	}

	return 0;
}

2.2 【练习】激光炸弹

题目描述

算法思路：在坐标系中枚举出所有边长为m的正方形，找出正方形中目标价值最大的即可。

参考代码：

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;

int n, m;
int a[N][N];
int f[N][N]; //前缀和矩阵

int main()
{
	cin >> n >> m;
	while (n--)
	{
		int x, y, v;
		cin >> x >> y >> v;
		//下标从1开始计数
		x++; 
		y++; 
		a[x][y] += v; //同一个位置可能有多个目标
	}

	n = 5001;
	//预处理前缀和矩阵
	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for (int j = 1;j <= n;j++)
		{
			f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + a[i][j];
		}
	}

	int ret = 0;
	m = min(m, n); //如果 m 很大，相当于就是把整个区域全部摧毁

	//枚举所有边长为 m 的正方形
	for (int x2 = m;x2 <= n;x2++)
	{
		for (int y2 = m;y2 <= n;y2++)
		{
			int x1 = x2 - m + 1;
			int y1 = y2 - m + 1;
			ret = max(ret, f[x2][y2] - f[x1 - 1][y2] - f[x2][y1 - 1] + f[x1 - 1][y1 - 1]);
		}
	}

	cout << ret << endl;

	return 0;
}