LGOJ3168-[CQOI2015] 任务查询系统（主席树+差分）

原题面

Description

最近实验室正在为其管理的超级计算机编制一套任务管理系统，而你被安排完成其中的查询部分。超级计算机中的任务用三元组$(S_i,E_i,P_i)$描述，$(S_i,E_i,P_i)$表示任务从第$S_i$秒开始，在第$E_i$秒后结束（第$S_i$秒和$E_i$秒任务也在运行），其优先级为$P_i$。同一时间可能有多个任务同时执行，它们的优先级可能相同，也可能不同。调度系统会经常向查询系统询问，第$X_i$秒正在运行的任务中，优先级最小的$K_i$个任务（即将任务按照优先级从小到大排序后取前$K_i$个）的优先级之和是多少。特别的，如果$K_i$大于第$X_i$秒正在运行的任务总数，则直接回答第$X_i$秒正在运行的任务优先级之和。上述所有参数均为整数，时间的范围在$1$到$n$之间（包含$1$和$n$）。

Input

输入文件第一行包含两个空格分开的正整数$m$和$n$，分别表示任务总数和时间范围。接下来$m$行，每行包含三个空格分开的正整数$S_i$、$E_i$和$P_i$($S_i$<=$E_i$)，描述一个任务。接下来$n$行，每行包含四个空格分开的整数$X_i$、$A_i$、$B_i$和$C_i$，描述一次查询。查询的参数$K_i$需要由公式 $K_i$=$1+(A_i\ast Pre+B_i)mod{C}_i$计算得到。其中$Pre$表示上一次查询的结果，对于第一次查询，$Pre=1$。

Output

输出共$n$行，每行一个整数，表示查询结果。

Solution

好题，让人深入而透彻的理解主席树。

$0pts$做法

拿到题，最初的想法是什么？显然是暴力加入任务，维护时间轴，而每个任务都可以代表着一段区间，自然而然地想到各种维护区间的数据结构，例如分块线段树。稍稍看一看题面就可以知道，这个其实不太可能对一段时间维护，因为每一段内的优先级们太混乱了，那么就只可能对一个时间点进行维护，因而一个任务需要$E_i-S_i$棵线段树才能够维护，因而你会$MLE$，一分也没有。

$100pts$做法

上面那个算法虽然是爆零算法，但是他给我们指了一条路：用一些线段树去搞定每个任务。那么如何有效的减少空间消耗呢？注意到，一个任务是一段区间，那么这些任务们可能会有很多重叠的地方，那么我们能不能吧这些重叠的保留下来，而只新建几个节点呢？都想到这里了，那么解法就很清晰了：主席树。
但是，还有一个问题，一个任务对于这棵主席树而言是一个区间修改，似乎主席树不能这么干，怎么办？注意到主席树建树利用了前缀和的思想，那么这个区间修改也可以用同样的思想，这样才具有可移植性与可维护性。要用前缀和去实现区间修改，显然使用差分啊，所以本题就分析完了，得到如下算法：
对于每个任务，维护两棵权值线段树（想一想，为什么？），分别是$E_i$,$S_i+1$这两个时间点，在$E_i$处$+1$，在$S_i+1$出$-1$。
然后按照时间先后顺序，将这些权值线段树$merge$成一棵主席树，然后就可以十分轻松的进行$query$了。
Talk is Cheap, Show You the Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define N 100005
int read(){
	 int sum=0,neg=1;
	 char c=getchar();
	 while(c>'9'||c<'0'&&c!='-') c=getchar();
	 if(c=='-') neg=-1,c=getchar();
	 while(c>='0'&&c<='9') sum=(sum<<1)+(sum<<3)+c-'0',c=getchar();
	 return sum*neg;
}
int m,n,a[N],rt[N*100],tot,lson[N*100],rson[N*100],cnt[N*100],sum[N*100];
struct Event{
	int s,e,p;
}eve[N];
inline void pushup(int now){
	 sum[now]=sum[lson[now]]+sum[rson[now]];
	 cnt[now]=cnt[lson[now]]+cnt[rson[now]];//计算优先级出现的次数 
}
void build(int &now,int l,int r,int pos,int delta){
	 if(!now) now=++tot;
	 if(l==r){
		  cnt[now]+=delta;
		  sum[now]=cnt[now]*a[l];
		  return;
	}
	 int mid=(l+r)>>1;
	 if(pos<=mid) build(lson[now],l,mid,pos,delta);
	 else build(rson[now],mid+1,r,pos,delta);
	 pushup(now);
}
int merge(int x,int y){//merge返回新的节点的编号
	if(!x||!y) return x+y;
	int now=++tot;
	sum[now]=sum[x]+sum[y];
	cnt[now]=cnt[x]+cnt[y];
	lson[now]=merge(lson[x],lson[y]);
	rson[now]=merge(rson[x],rson[y]);
	return now;
}
int query(int now,int l,int r,int k){
	 if(l==r) return a[l]*min(k,cnt[now]);//若k比现在的优先级数量还多的话，只能算数量次
	 int mid=(l+r)>>1;
	 if(cnt[lson[now]]>=k) return query(lson[now],l,mid,k);//在左儿子中查询
	 else return sum[lson[now]]+query(rson[now],mid+1,r,k-cnt[lson[now]])//在右儿子查询是，要注意加上左儿子对和的贡献，不能只算右儿子
}
signed main(){
	 m=read(); n=read();
	 //cout<<m<<" "<<n<<endl; 
	 for(int i=1;i<=m;i++){
		  eve[i].s=read();
		  eve[i].e=read();
		  eve[i].p=read();
		  a[i]=eve[i].p;
	}
	 sort(a+1,a+m+1);
	 ++n;
	 int num=unique(a+1,a+m+1)-a-1;
	 //cout<<num<<endl;
	 for(int i=1;i<=m;i++){
		  eve[i].p=lower_bound(a+1,a+num+1,eve[i].p)-a;
		  build(rt[eve[i].s],1,num,eve[i].p,1);
		  build(rt[eve[i].e+1],1,num,eve[i].p,-1);
	}
	 for(int i=1;i<=n;i++) rt[i]=merge(rt[i-1],rt[i]);
	 int pre=1;
	 for(int i=1;i<n;i++){
		  int x,a,b,c,k;
		  x=read(),a=read(),b=read(),c=read();
		  k=1+(a*pre+b)%c;
		  pre=query(rt[x],1,num,k);
		  printf("%d\n",pre);
	}
	 return 0;
}

格式难看勿喷，优快云吞缩进！！！