插入排序、归并排序以及小和问题

一.插入排序

插入排序的思想了类似于向一个有序的数组里面插入一个数。最初我们将一个无序的数组0~N-1的0~0部分视作有序，然后取1位置的数与0位置上的数进行比较，比0位置上数小就进行交换，比0位置上数大就不变，从而使0~1部分排成有序，以此类推。也就是说，取有序部分后边的数插入到那个有序的部分，将这个数和它前面的数依次进行比较，比前面的数小就进行交换，比前面的数大就已经找到了这个数的位置，直到最后位置的数也找到了正确的位置排序就结束。

代码实现：

	/*
	 * 插入排序
	 * 时间复杂度：
	 * 是和数据的状况有关的算法流程，一律按照最差状况计算
	 * 最优：有序序列：O(N)
	 * 最差：逆序序列：O(N^2)
	 * 所以时间复杂度为：O(N^2)
	 */
	public static void sort(int[] arr) {
		if(arr == null || arr.length < 2)
			return;
		
		//i位置上的数就是这次排序要排的数
		for(int i = 1;i < arr.length;i++) {
			for(int j = i-1;j >= 0 && arr[j] > arr[j+1];j--) {
				swap(arr, j, j+1);
			}
		}
	}
	
	//进行交换的方法
	public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
		int tmp = arr[i];
		arr[i] = arr[j];
		arr[j] = tmp;
	}

二.归并排序

该算法是采用分治法的一个非常典型的应用，将已有序的两个子序列合并为一个有序的序列。 我们使用一个辅助数组，大小是两个子序列大小的和，分别定义两个记录两个子序列当前小标的变量，和一个记录辅助数组的下标的变量，取两个子序列中的数进行比较，较小的数拷贝进辅助数组中，并且将下标后移一位，较大的数所在序列记录下标的变量不变，辅助数组下标也后移一位。。。以此类推，如果有一个数组已经全部放入辅助数组中，就将另一个数组中还没有放入辅助数组的数一次全部放入。

代码实现：

	/*
	 * 归并排序：
	 * 时间复杂度：O(N*logN)，额外空间复杂度O(N)
	 */
	//将数组排成两个有序的数组，使用插排递归实现
	public static void sortProcess(int[] arr, int L, int R) {
		if(L == R)
			return;
		//使用右移的位运算取mid
		int mid = L + ((L - R) >> 1);
		sortProcess(arr, L, mid);
		sortProcess(arr, mid+1, R);
		merge(arr, L, mid, R);
	}
	
	//归并排序
	public static void merge(int[] arr, int L, int mid, int R) {
		//辅助数组
		int[] help = new int[R-L+1];
		int i = 0;
		int p1 = L;
		int p2 = mid + 1;
		
		//两个有序部分的数组还有数没有排的时候
		while(p1 <= mid && p2 <= R) {
			help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
		}
		
		//当其中一个数组的数已经全部放进去，将另外一个数组的没有放进去的部分放进去
		while(p1 <= mid) {
			help[i++] = arr[p1++];
		}
		while(p2 <= R) {
			help[i++] = arr[p2++];
		}
		
		//将辅助数组中的数全部放进原数组中
		for(i = 0;i < arr.length;i++) {
			arr[L + i] = help[i];
		}
	}

三.归并排序的应用——小和问题

题目描述：   在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数的小和。求一个数组的小和。

例子：
  数组：[1, 3, 4, 2, 5]
  1左边比1小的数：没有；
  3左边比3小的数：1；
  4左边比4小的数：1, 3；
  2左边比2小的数：1；
  5左边比5小的数：1, 3, 4, 2；
所以小和为：1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 3 + 4 + 2 = 16

分析：
我们可以把小和问题转化成：求每个数右边比自己大的个数 * 自己这个数的大小，比如题中：1的右边比1大的数一共有四个，一共计算了四次1；3的右边有两个比3大的数，一共计算了两次3；4的右边有一个比4大的数，一共计算了一次4；2的右边有一个比2大的数，一共计算了一次2；5的右边没有比它大的数。
那么我们该如何将这个问题转化成归并呢？

首先使用分治的思想将数组分为上图所示，先定义一个小和值sum = 0，然后在归并的时候，是从最下层进行归并的，只需判断左边集合中的数是否小于右边集合中的数：
所以最先归并的是1和3，1<3，sum += 1 * 1，第一个1是指较小的数为1，第二个1是指，有1个数比1大；
第二次归并的是[1, 3]和4，1<4，sum += 1 * 1；3 < 4，sum += 3 * 1；
第三次归并的是2和5，2 < 5，sum += 2 * 1；
第四次归并的是[1, 3, 4]和[2, 5]，1 < 2，sum += 1 * 2；3 < 5，sum += 3 * 1；4 < 5，sum += 4 * 1
所以，小和问题其实就是一个归并排序的应用
部分代码如下：

	//只是在原来归并的基础上添加了一个变量res存放小和的值，并在这个while语句中计算小和值
	int res = 0;
	while(p1 <= mid && p2 <= r) {
			res += arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1] * (r - p2 + 1) : 0;
			help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
		}

------------------------------------------ 手动优雅的分割线~~ ---------------------------------------------
更新于20190326：
非常感谢博主追星花狸在评论中指出我的错误，在最后的小和问题上，在阐述过程的部分有误，希望没有误导之前看过这篇博客的盆友…现已更正并加入更多解释，欢迎讨论交流！！