动态规划——数字三角形（递归or递推or记忆化搜索）

最新推荐文章于 2022-08-05 00:34:04 发布

sdjzping

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分类专栏：动态规划（刘汝佳第九章）

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本文探讨了在一个由非负整数组成的三角形中寻找最大路径和的问题，并提供了三种解决方案：递归方法、递推方法及记忆化搜索。递归方法直观但效率较低；递推方法采用自底向上的策略提高效率；记忆化搜索则结合了递归与缓存机制，避免重复计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1、题目大意：

有一个由非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数，如图

        1
      3 2
    4 10 1
   4 3 2 20

从第一行的数开始，每次可以往左下或右下走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何走才能使得这个和尽量大、

此题有三种解法：

1、递归的方法：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[100][100];
int n;
int d(int i,int j)
{
    return a[i][j]+(i==n? 0:max(d(i+1,j),d(i+1,j+1)));
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n==0)
            break;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=i; j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        }
        printf("%d\n",d(1,1));
    }
    return 0;
}

2、递推的方法：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[100][100];
int d[100][100];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        if(n==0)
        break;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=i;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
        d[n][i]=a[n][i];
        for(int i=n-1;i>=1;i--)
        {
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                d[i][j]=max(d[i+1][j],d[i+1][j+1])+a[i][j];
            }
        }
        printf("%d\n",d[1][1]);
    }
    return 0;
}

3、记忆化搜索

/*
所谓记忆化搜索，就是记录下哪些点访问过，哪些点没有访问，同时记下访问过的点的最大值
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[100][100];
int d[100][100];
int n;
int dfs(int i,int j)
{
    if(d[i][j]>0)
    return d[i][j];
    return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(dfs(i+1,j),dfs(i+1,j+1)));
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=i;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
        memset(d,-1,sizeof(d));
        printf("%d\n",dfs(1,1));
    }
    return 0;
}