原数组建堆（向上调整和向下调整）

数组建堆与调整算法详解
原创 已于 2022-04-14 17:36:11 修改 · 192 阅读 · 0 ·
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#c语言 #数据结构

于 2022-04-14 17:31:05 首次发布
本文详细介绍了如何使用向上排序和向下调整方法在不额外开空间的情况下对数组进行建堆操作。向上调整策略是从最后一个非叶子节点开始，逐个调整以确保堆性质。而向下调整则从最后一个叶子节点的父亲节点开始，保证每个节点都小于或等于其子节点。这种方法对于理解和实现堆排序算法至关重要。

对于一个给定的数组我们不开设额外的空间利用向上调整算法和向下调整算法进行建堆

1.向上排序做法建堆watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETkDpkavlk6XljonlrrM,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16

watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETkDpkavlk6XljonlrrM,size_9,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16 依次对数组的其他元素进行向上调整即可；watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETkDpkavlk6XljonlrrM,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16

向下调整从最后一个叶子节点的父亲节点开始向下调整watermark,type_d3F5LXplbmhlaQ,shadow_50,text_Q1NETkDpkavlk6XljonlrrM,size_12,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_16

 

 

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<think>好的，我现在需要处理用户关于堆排序和堆构建的问题。用户提到了他们之前读过关于堆的文章，现在想了解如何用数组构建堆以及堆排序的实现。首先，我应该回忆一下堆的基本结构和堆排序的步骤。 堆是一种完全二叉树，分为最大堆和最小堆。最大堆的每个父节点都大于或等于其子节点，而最小堆则相反。堆通常用数组来存储，因为完全二叉树的特性使得数组可以紧凑地表示树的结构，不需要指针，节省空间。数组中的位置i的节点的左子节点在2i+1，右子节点在2i+2，父节点在(i-1)/2的位置。这一点很重要，用户可能想知道数组如何对应到堆的结构，所以需要详细说明。 接下来是构建堆的过程。构建堆有两种方法：自下而上的下滤（heapify）方法，和自上而下的插入方法。通常，堆排序中使用的是第一种方法，因为它的时间复杂度更低，为O(n)。而自下而上的方法是从最后一个非叶子节点开始，向前遍历，对每个节点执行下滤操作，确保子树满足堆的性质。这里需要解释清楚下滤的具体步骤，比如比较节点与其子节点，交换位置，并递归调整受影响的子树。 然后是堆排序的步骤。堆排序分为两个主要部分：构建堆和依次取出堆顶元素。构建好最大堆后，堆顶元素是最大的，将其与数组末尾元素交换，然后缩小堆的大小，重新调整堆。重复这个过程直到整个数组有序。这里需要注意每次交换后调整堆的范围，以及如何保持剩余部分仍然是一个有效的堆。 用户可能需要具体的代码实现，所以应该提供一个用数组实现堆排序的示例代码，比如Python版本的。代码需要包括构建堆的函数（比如heapify）和排序的主函数。要确保代码正确，比如在heapify函数中正确处理左右子节点的索引，递归或迭代地进行调整。同时，注释可以帮助理解代码的逻辑。 此外，用户提到的参考文章【数据结构】堆（Heap）详解可能需要被引用，特别是在解释堆的性质和构建方法时，可以引用该文中的内容。例如，在讨论堆的数组表示时，可以提到参考文章中的内容，以增强回答的可信度。 还要考虑用户可能存在的疑问点。例如，为什么构建堆的时间复杂度是O(n)，而每次调整是O(log n)，这里可能需要简要解释数学推导或者引用相关结论。另外，堆排序的不稳定性也是一个需要注意的点，可以提及。 最后，生成的相关问题需要围绕堆排序的扩展，比如时间复杂度分析、优化方法、应用场景，或者与其他排序算法的比较。这些问题应该帮助用户进一步深入学习堆排序的相关知识。 现在需要将上述思考整理成一个结构清晰的回答，确保符合用户提供的格式要求，包括行内公式使用$...$，独立公式用$$...$$，正确的中文回答，代码块的格式，以及相关问题的生成。同时，引用标识要自然地添加在引用的内容末尾，比如在提到堆的数组表示时引用参考文章。</think>### 数组构建堆与堆排序实现 #### 1. 堆的数组表示 堆是一种**完全二叉树**，可以用数组紧凑存储。若数组下标从$0$开始，则： - 父节点索引：$\text{parent}(i) = \lfloor (i-1)/2 \rfloor$ - 左子节点索引：$\text{left}(i) = 2i + 1$ - 右子节点索引：$\text{right}(i) = 2i + 2$ 这一特性使得数组可以高效表示堆结构，无需额外指针[^1]。 #### 2. 构建堆的方法 **自下而上构建（Heapify）**： 1. **从最后一个非叶子节点开始**，向前遍历到根节点。 2. 对每个节点执行**下滤（sift down）**操作，确保子树满足堆性质（最大堆或最小堆）。 $$ \text{最后一个非叶子节点索引} = \lfloor n/2 \rfloor - 1 $$ **示例代码（最大堆）**： ```python def heapify(arr, n, i): largest = i left = 2 * i + 1 right = 2 * i + 2 if left < n and arr[left] > arr[largest]: largest = left if right < n and arr[right] > arr[largest]: largest = right if largest != i: arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i] heapify(arr, n, largest) def build_heap(arr): n = len(arr) for i in range(n // 2 - 1, -1, -1): heapify(arr, n, i) ``` #### 3. 堆排序算法 **步骤**： 1. **构建最大堆**：调用`build_heap`函数。 2. **交换堆顶与末尾元素**：将最大值移到数组末尾。 3. **缩小堆范围并调整**：对剩余元素重新执行`heapify`，直到数组有序。 **时间复杂度**： - 构建堆：$O(n)$ - 每次调整：$O(\log n)$ - 总体复杂度：$O(n \log n)$ **代码实现**： ```python def heap_sort(arr): n = len(arr) build_heap(arr) # 构建初始堆 for i in range(n-1, 0, -1): arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0] # 交换堆顶与末尾元素 heapify(arr, i, 0) # 调整剩余部分为堆 return arr ``` #### 4. 关键点说明 - **稳定性**：堆排序是**不稳定排序**，交换可能破坏相同元素的原始顺序。 - **空间复杂度**：$O(1)$，原地排序。 - **适用场景**：数据量较大且对稳定性无要求的场景，如优先队列实现[^1]。 ---
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