20251027 倍增总结

引子

前缀和算法适用于静态区间和查询，通过预处理每个前缀和实现快速计算任意区间和。前缀和的两大局限在于无法处理不可减运算（如区间最值、GCD）和动态修改问题。每次动态修改会导致$O(n)$个前缀和需要更新，整体复杂度退化为$O(n^2)$。对于不可减问题和动态问题，ST表和树状数组是更优选择。

倍增算法

倍增是ST表的基础，核心思想是通过递推预计算长度为$1,2,4,...(2^i\le n)$的区间运算结果。每个位置需要预处理$O(logn)$个区间，整体构建复杂度为$O(nlogn)$。区间查询时，任意区间可拆分为最多$logn$个预处理的倍增区间，利用二进制分解实现高效查询。

ST表

ST表适用于静态可重复贡献问题(如区间最值、GCD)，特点是满足x与x运算结果仍为x。ST表预处理复杂度为$O(nlogn)$，查询复杂度为$O(1)$。实现时需注意预处理对数表优化查询，将指数维度放在外层提高缓存命中率，并正确处理区间边界。

数学公式示例(区间最大值查询):

$\text{st}[i][j]=\max (\text{st}[i][j-1],\text{st}[i+2^{j-1}][j-1])$

树状数组

树状数组支持单点修改和可减区间查询，基于lowbit运算实现。每个节点t[i]存储长度为lowbit(i)的区间和，前缀和可分解为至多$logn$个区间和。单点修改影响至多$logn$个区间，复杂度为$O(logn)$。实现时利用$lowbit(x)=x$&$-x$快速定位相关区间，空间复杂度为$O(n)$。

代码示例（树状数组基本操作）：

int lowbit(int x){
	return x&-x;
}
void add(int i,int x){
	for(i;i<=n;i+=lowbit(i))s[i]+=x;
}
int sum(int i){
    int ans=0;
    for(i;i>=1;i-=lowbit(i)){
        ans+=s[x];
    }
    return ans;
}