POJ 3093 Margaritas on the River Walk

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/scorpiocj/article/details/6607580

本文探讨了背包问题的优化算法实现，通过两种方法解决在给定物品与背包容量下，选择最优组合的问题。详细解释了算法逻辑与复杂度，并提供了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给n个物品，容量为V的包，要求这样的方案数：选中k个物品放入背包后，剩下的物品中，任意一个都放不进去

考虑什么情况下一个都放不进去，就是剩下物品中体积最小的那个（体积为v)都放不进去，即背包装载容量应为[V-v+1,V]

那么我们可以将物品按容量排序，从小到大枚举不放入背包的体积最小的，那么此时比它小的物品都应该放入背包中，我们可以对剩下的i+1到n的物品做01背包，然后将可行的方案统计出来，这样，第i件物品考虑了i-1次，总复杂度为O(n^2*V)

n较大的话会超时，我们可以反过来做，每个物品只放入背包中一次，即枚举的时候从最大的开始，先统计此时的方案数，然后将物品放入背包，这样一直下去，总复杂度O(n*V)

具体可以参见《浅谈几类背包问题》

代码1：

#include<iostream>
#include<memory.h>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
int dp[1005],sum[35],w[35];
int main()
{
	int i,j,k,T,n,V,ans,ca;
	scanf("%d",&T);
	for(ca=1;ca<=T;ca++)
	{
		scanf("%d%d",&n,&V);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&w[i]);
		}
		sort(w+1,w+1+n);
		sum[0]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
			sum[i]=sum[i-1]+w[i];
		ans=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			memset(dp,0,sizeof(dp));
			dp[0]=1;
			for(j=i+1;j<=n;j++)
			{
				for(k=V-sum[i-1];k>=w[j];k--)
				{
					if(dp[k-w[j]]!=0)
						dp[k]+=dp[k-w[j]];
				}
			}
			for(j=max(0,V-sum[i-1]-w[i]+1);j<=V-sum[i-1];j++)
			{
					ans+=dp[j];
			}
		}
		if(w[1]>V)
			ans=0;
		printf("%d %d\n",ca,ans);
	}
	return 0;
}

代码2：

#include<iostream>
#include<memory.h>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
int dp[1005],sum[35],w[35];
int main()
{
	int i,j,k,T,n,V,ans,ca;
	scanf("%d",&T);
	for(ca=1;ca<=T;ca++)
	{
		scanf("%d%d",&n,&V);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&w[i]);
		}
		sort(w+1,w+1+n);
		sum[0]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
			sum[i]=sum[i-1]+w[i];
		ans=0;
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		dp[0]=1;
		for(i=n;i>=1;i--)
		{
			k=max(0,V-sum[i-1]-w[i]+1);
			for(j=V-sum[i-1];j>=k;j--)
				ans+=dp[j];
			for(j=V;j>=w[i];j--)
				dp[j]+=dp[j-w[i]];
		}
		if(w[1]>V)
			ans=0;
		printf("%d %d\n",ca,ans);
	}
	return 0;
}