最小生成树(Kruskal算法和Prim算法)

最新推荐文章于 2023-10-13 13:42:36 发布

原创最新推荐文章于 2023-10-13 13:42:36 发布 · 551 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#kruskal #prim #数据结构 #c++ #经典算法

数据结构专栏收录该内容

9 篇文章

订阅专栏

本文介绍了求解最小生成树的两种经典算法：Kruskal算法和Prim算法。详细讲解了这两种算法的具体实现过程，并提供了完整的代码示例。

最小生成树：

一个有n个结点的连通图的生成树，是原图的极小连通子图，包含原图放入所有结点，并且保持图连通的最小的边。求最小生成树可以用Kruskal(克鲁斯卡尔)算法和Prim(普里姆)算法求出。

Kruskal算法：

具体思路：是将每条边上的权进行排序，之后在从中选取最小的边，加入最小树的集合中。

注意：在以上的过程中得防止出现环路。可以用并查集维护。
以下图为例：
这里写图片描述
首先，建图，用一个结构体数组:

struct node{
	int x;  //起点
	int y;  //终点
	int w;  //权重
}graph[100];

之后，用并查集判断是否会产生环路：

int point[100];  //用来标记结点
for(int i=1;i<=n;i++){
	point[i]=i;  //先将每个结点的根节点都设为自己
}

/*查找*/
int find(int n){
	if(n==point[n]) return n;//返回结点的根节点
	find(point[n]);
}

/*合并*/
for(int i=1;i<=m;i++){
	int fx = find(graph[i].x); //查找根节点
	int fy = find(graph[i].y); //查找根节点
	//若这条边的起点和终点相同，说明形成环路
	if(fy!=fx){
		point[fy] = fx;  //不相等，则合并(纳入最小树的集合)
	}
}

完整代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; 
const int M =100;

int n; //结点数
int m; //边数
int point[M];  //并查集 

//图的结构体数组 
struct node{
	int x;    //起点 
	int y;	  //终点 
	int w;    //权重 
}graph[M];

//并查集：查找 
int find(int x){
	if(point[x]==x) return x;
	return find(point[x]);
}

int cmp(node a,node b){
	return a.w<b.w;
}

int main(){
	int sum;
	while(cin>>n>>m){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			point[i] = i;
		}
		// 建图 
		for(int i=1;i<=m;i++){
			cin>>graph[i].x>>graph[i].y>>graph[i].w; 
		}
		// 按照边上的权重大小排序 
		sort(graph+1,graph+m+1,cmp);
		sum = 0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int fx = find(graph[i].x); //集合的顶点 
			int fy = find(graph[i].y); //集合的顶点 
			//判断是否形成环路 
			if(fy!=fx){
				sum+=graph[i].w;
				point[fy] = fx;  //纳入集合 
			}
		}
		cout<<sum<<endl;  //输出最小连通图的权值的和
	}
	return 0;
}

Prim算法

对于Prim算法,相对于Kruskal算法而言，Prim算法，适用于稠密图，即：边比较少的图。也就是说Kruskal算法比较适用于稀疏图。

具体思路：以图中的任意一个结点作为起点，逐个找到各个结点的最小权值的边(当前局部最小，达到整体最小)。来构建最小生成树。
首先，建图：

/*用一个二维数组cost[][]，建图*/
for(int i=0;i<n;i++){
	for(int j=0;j<n;j++){
		int x,y,len;
		cin>>x>>y>>len;
		cost[x][y] = len;
		cost[y][x] = len;
	}
}

核心代码：

int Prim(int m){
	int sum=0,k,min; 
	for(int i=0;i<n;i++){
		dist[i] = cost[m][i];
	}
	dist[m]=0;
	for(int i=1;i<n;i++){
		sum = 0,min = MAX;
		for(int j=0;j<n;j++){
			 if(dist[j]&&dist[j]<min){
				 min = dist[j];
				 k = j;
			}
		}
		sum += min;
		dist[k] = 0;
		for(int j=0;j<n;j++){
			if(dist[j]&&dist[j]>cost[k][j]){
				dist[j] = cost[k][j];
			}
		}
	}
	return sum;
}

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int M=100;
const int MAX = 1<<30;
int cost[M][M];
int dist[M]; //用来记录当前所在结点，到其他结点的边上的权值
int n; //结点数
int m; //边数
int  Prim(int m){
	int i,j,k,min,sum = 0;
	//初始化dist[]中的值，即：与m结点相连接的边上的权值
	for(i=0;i<n;i++){
		dist[i] = cost[m][i];
	}
	dist[m] = 0; //标记
	//第一个结点，不做处理
	for(i=1;i<n;i++){
		min = MAX;
		//找到dist[]中最小的值
		for(j=0;j<n;j++){
			if(dist[j]!=0&&dist[j]<min){
				min = dist[j];
				k = j;//记录下当前结点的位置
			}
		}
		sum +=min;
		dist[k] = 0;  //第k个结点取过了，标记为0
		//更新dist[]，中的值，即：与k结点相连接的边的权值
		for(j=0;j<n;j++){
			if(dist[j]!=0&&dist[j]>cost[k][j]){
				dist[j] = cost[k][j];
			}
		}
	
	}
	return sum; //返回最小连通图的边上的权值总和
} 

int main()
{
	while(cin>>n>>m){
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<n;j++){
				cost[i][j] = MAX;
			}
		}
		for(int i=0;i<m;i++){
			int x,y,len;
			cin>>x>>y>>len;
			cost[x][y]=len;
			cost[y][x]=len;
		} 
		//这里以v0为起点
		cout<<Prim(0)<<endl;
	}
}