由“位运算”想到的

最近，有人问到我一个面试题，求可以整除整数N的最大的数，并且还是2的幂。因为这次不是讨论这个问题，我就直接给答案了，是:N&(-1*N)。

这个题目就用到了位运算。位运算很简单，一共就那么几个，分别是：左移位(<<)，右移位(>>)，与(&)，或(|)，异或(^)，取反(~)。没了，就这些了。

那么，用这些操作，都可以干些什么呢？在回答这个问题问题之前，需要先复习一些离散数学里面的问题，至少我需要复习一下。

A&B = B&A, A|B = B|A
(A&B)&C = A&(B&C), (A|B)|C = A|(B|C)
A|(B&C) = (A|B)&(A|C)
A&(B|C) = (A&B)|(A&C)
A|(A&B) = A
A&(A|B) = A
~(A|B) = ~A&~B
~(A&B) = ~A|~B
A|~A = 11...111(1的个数等于A的位数)
A&～A = 0
~(~A) = A
A^B = (A&~B)|(B&~A)
好了，基本的知识就这些，其它的东西都是在这个的基础上面推导出来的。其中异或(^)运算很特别，我们可以把它理解为逻辑上面的加法和减法。做一次是加，再做一次就是减，呵呵，有趣吧。而且还没有因为进位而导致溢出的苦恼。另外就是还要记得-A是A的取反加1。

现在，就可以看看位运算都可以干些什么了。

1，与2相关的运算。
左移或者右移，就是乘以2或者除以2，这个比较常见，就不多说了。

2，屏蔽某些数据位。
比如取A的低8位，就是A&0xFF。这里，如果用A&(-1*A)，就取到了从A的低位数起，一直到第一个1的数，也就是可以整除A的最大的2的幂了。

3，交换两个数的值。
A=A^B
B= A^B
A=A^B
道理就是，
A=A^B=(A&~B)|(B&~A)
B=B^A=(B&~((A&~B)|(B&~A)))|(((A&~B)|(B&~A))&~B)=（B& (~A|B)&(~B|A)）|（((A&~B)|~B)|((B&~A)&~B)）
=(A&B)|(A&~B) =A&(B|~B)=A
A=A^B=(((A&~B)|(B&~A))&~A) | (A&~((A&~B)|(B&~A)))= B| (A&(~A|B)) = B|(A&B)=B
也许大家已经看得眼晕了。其实这个推导过程就是用了上面的公式，像宏运算似的一点一点展开后就能得出来了。

其实，可以理解为

A=A+B

B=A-B

A=A-B

 

有了这些基础，我们就可以做许多事情了。特别是与2相关的。比如算一个数是不是16的整倍数，只要看末4位是不是0，如A&0xF == 0，这比用 A % 16 == 0要快多了，比 A > int(A/16)*16更是快了太多。