圈的ramsey数研究

最新推荐文章于 2021-06-07 17:49:44 发布

sayu_yangyou

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分类专栏： Ramsey数问题文章标签：算法 numbers graph transactions 工具 math.h

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1 引言

1．1 研究内容与意义

“图”最早是人们将具体的事物用一些简单的线条来进行描述、并将这些描述的含义传达给其他人的一种工具。图论这个学科的产生最早应该是在 1736 年瑞士著名数学家 Léonhard Euler 解决“ Königsberg 七桥问题”：有没有人可以从起点出发一次不重复地通过连接 Königsberg 四个岛屿的七座桥梁并且重新回到起点？ Léonhard Euler 通过对问题的抽象，最后他将岛屿用点表示、将连接岛屿的桥梁用线表示（如下图所示）从而解决了这个由大学生提出的著名的“七桥问题”并给出了数学证明。

图 1.1-1. Königsberg七桥问题

从此“图”这个描述事物的工具便引起了数学家的关注并逐渐形成了“图论”这个数学的新分支，而“点”和“线”就构成了图论的基本要素，并以“点”和“线”来描述现实世界当中的各种事物与事物之间的关系。在我们的日常生活中的确是有许多事物一旦使用“图”来表示会显得相当的简单明了，如：铁路交通图，以点表示城市，以线表示城市之间的铁路连线；人际关系图，以点表示人，以线表示人与人之间的关系；等等。然而人们往往并不关心这些关系是怎么样的、具体情况如何，而主要感兴趣的是有没有“关系”的存在。那么这些“事物”和“关系”就成为了图论所讨论的范围。

图论既可以归入集合论，因为图需要由点集和线集来构成；也可以归入组合论，因为图讨论的是点集中各个点之间的组合关系。但是无论如何划分，图论都是应该划入离散数学的范畴，因为它的要素当中没有连续的因素的存在。

Ramsey 理论作为图论的一个重要研究分支，它产生于 1930 年，起源文章为英国数学家 Frank Ramsey 的《 On a Problem of Formal Logic 》 ^[4] 。在这篇文章里 Frank Ramsey 讨论了在某种条件下无论对集合如何划分都能够产生人们预期想要得到的子集的现象。后来人们在他工作的基础上不断扩充，确定了 Ramsey 理论的研究内容为：在某种条件下，无论对一个大系统（结构）如何进行分割，总是能够得到人们预期想要得到的子系统（结构）。这里的系统即由相互关联的事物所组成，要研究这种系统可以通过很多种方式进行探讨，但是“图”是表达这种系统的最佳工具，因为图论正是讨论“事物”及其“关系”的一个数学工具。所以图论理所当然地成为研究 Ramsey 理论的一个最重要的表达工具。

自从 Ramsey 理论诞生以来，经历了 70 余年的研究历程，进展相当缓慢。 Frank Ramsey 在发表论文 25 年之后，人们才得到第一个非平凡的 Ramsey 结果 ^[6] ；在它的研究领域当中，悬而未解的问题以及猜想相当的多 ^[14] 。尽管如此， Ramsey 理论还是成为图论工作者的热点研究问题。在其领域当中，研究的分支很多，并且它的研究成果已经广泛地应用于集合论、几何、数论、计算机理论研究等多个领域，而且目前也已经开始渗透到连续数学的范畴中来，影响着数学分析这个古老的数学分支了；此外，人们对于 Ramsey 理论的研究直接催生了“随机图论”、“极图理论”等多个数学新研究领域。

本论文主要研究了圈对完全图的 Ramsey 数、特别是长度为 4 的圈的一些情况，并且讨论了 Ramsey 数在图的独立数和点染色数上的应用问题，得到了一些结果。

本论文的主要研究内容为：

(1) 确定了一种构造无图的方法；

(2) 讨论了求解任意图的极大与最大独立集和独立数的算法，并对算法进行了改进，最后编制计算机程序进行验证；

(3) 确定了一批圈对完全图的 Ramsey 数的新下界；

(4) 在已知下界的基础上深入讨论得到一批圈对完全图的 Ramsey 数的线性下界；

(5) 确定了一类图的若干独立数，并在这一类图独立数的基础上进行了扩充，得到一些线性结果；

(6) 确定了一类图的若干点染色数。

本论文的研究意义在于：

(1) 确定了一批圈对完全图的 Ramsey 数的新下界，缩小了圈对一些完全图的 Ramsey 数的讨论范围；

(2) 确定了在研究 Ramsey 数时构造图的新方法；

(3) 得到了一个操作性较强的计算任意图的极大与最大独立集的算法；

(4) 确定了一类图的独立数；

(5) 确定了一类图的点染色数。

本论文在第二章首先介绍了 Ramsey 理论的简要发展历程、研究的对象、研究的分支以及每一个分支的基本研究现状，并介绍了 Ramsey 理论的研究意义。第三章介绍圈的 Ramsey 数的几个研究分支以及每一个分支的研究现状。第四章为本论文的主要成果，主要研究了构造无图的方法、一类特殊图的性质、求解任意图的极大与最大独立集和独立数的算法以及对算法的改进、计算圈对完全图的 Ramsey 数的新下界、以及在前面的基础上进一步研究了一批圈对完全图的 Ramsey 数的线性下界等问题、确定一类图的独立数问题以及扩充之后得到的一系列线性结果、确定一类图的点染色数问题。最后，就本人以后将进一步从事研究的问题做了计划。

1．2 术语及符号说明

本文中所使用到的术语以及符号如下：

具有个顶点的简单图

以为顶点集合、为边集的简单图

图的独立数

图的点染色数

在中的闭邻域

自然数

集合的势

，

对的 Ramsey 数

具有个顶点的完全图

本文中出现但是未做说明的符号及术语参阅 [28] 、 [29] 。

2 Ramsey理论简介

只有当一个科学的分支内仍然存在着大量悬而未解的问题时，这个分支才能够不断的生存发展下去；一旦领域内缺乏问题时，那么这个分支将很快消失或者停止发展。这个情况正如人类不断追求新的目标一样，数学的研究需要解决不断涌现的新问题。随着问题的不断涌现和问题的不断解决，探索者才能够检验前人的工作和自己解决问题的能力；他将发现问题的新的解决方法，为科学提供新的面貌，同时为人类得到一个更加宽广和自由的空间。

David Hilbert

《数学问题》

1900 年法国巴黎国际数学家大会

2．1 Ramsey理论的形成过程

在英国数学家 Andrew Wiles 证明了费马大定理之前，几乎每一个时代的每一个数学家都梦想着有一天自己能够证明这个既简单又深刻的定理：

[ 费马大定理 ^[1] ] 对于，在整数范围内没有平凡解。

这个多年悬而未解的定理所散发的魅力深深吸引着德国数学家 Issai Schur ，他为了解决这个问题付出了许多努力。当然，我们知道他没有完成这个定理的证明，但是他的工作成果为后人的继续证明做出了巨大的贡献，同时他为了解决这个问题所做出的努力也为数学其它领域的发展也起到了巨大的推动作用。在他的探索过程中， Issai Schur 证明了下面的这个定理：

[ 定理 ^[2] ] 对于 , 当素数足够大的时候，对取模后在整数范围内有非平凡解。

为了证明这个定理， Issai Schur 于 1916 年证明了一个中间结论。而这个中间结论，在绝大多数的数学家看来，其意义比上面的那一个定理要深远得多。这个中间结论现在被数学家称为“ Schur 定理”，它是公认的第一个 Ramsey 类型的结论。

[ Schur 定理 ^[2] ] 对于给定的整数，一定存在一个整数，使得当对区间内的整数进行任意染色时，一定能够在每一次染色当中找到一个满足的单色解。

在得到了上面的两个结论之后， Issai Schur 一直在继续深入他的工作，但是遗憾的是他从此以后在这个方向上没有再发表新的结果。 1916 年至 1927 年之间没有任何 Ramsey 类型的结论产生。 1927 年，数学家 B. L. van der Waerden 证明了另外一个重要的 Ramsey 类型的结论，这个结论的原型来自于 Issai Schur 提出的一个猜想：

[ Van der Waerden 定理 ^[3] ] 如果对正整数序列进行任意染色，则一定能够存在一个长度任意的单色等差数列。

在这个定理发表 3 年之后，即 1930 年，年轻的英国剑桥大学数学家、经济学家 Frank Ramsey 证明了一个后来以他的名字冠名的定理。这个漂亮的定理开辟了组合数学的一个新领域。

[ Ramsey 定理 ^[4] ] 设，其中，值事先给定。对于上面的参数存在一个最小的正整数满足下面的要求：当对具有个顶点的完全图进行任意边染色时，则对每一种染色都会存在至少一个染有第种颜色的完全图。

然而这个定理的发表在一开始并没有引起数学家的注意，因为 Frank Ramsey 并不是以数学见长的教授。后来在 1935 年，匈牙利科学院院士、著名数学家 Paul Erdös 和 Szekers 在不知道 Frank Ramsey 的结论的情况下联合发表了一个 Ramsey 定理的等价定理，这个等价定理是以几何的形式出现的：

[ Erdös 与 Szekers 定理 ^[5] ] 对于任一个正整数都对应存在一个正整数满足下面的要求：设为具有个顶点的且没有任意 3 个顶点共一直线的 Euclidean 平面图，则包含有个独立的顶点，即这个顶点构成一个凸图 (convex gon) 。

然而当他们发现这个结论早在 5 年前就已经有人得到、且表达地比他们的结论还要简练、深入时，他们大失所望，并开始大力宣传 Frank Ramsey 的结论。从此 Ramsey 定理就开始广泛流传开来，并在后来的发展过程中拓展成一个跨越组合、图论、分析、数论、计算机等多个数学及相关学科的研究领域，最后形成现在内容丰富、研究活跃的 Ramsey 理论。从 Ramsey 理论的诞生至今的 70 多年的研究历程中，许多数学家投入了大量的研究精力，取得了丰硕的成果。但是所有的成果总和也不过是 Ramsey 理论冰山上的一角，其深远的意义仍然需要现在与后继的数学家们继续深入的探索。

2．2 Ramsey理论的研究对象与意义

不可能存在完全无序的系统。（ T. S. Motzkin ^[27] ）

我们先来举一个生活中的例子：

[ 问题] 试证明任意 6 个人当中一定至少有 3 个人相互认识或者相互不认识。

解：首先我们先不失一般性地假设“认识”是一种什么关系：认识是相互的，即如果 A 认识 B ，则 B 也认识 A ；认识是非传递的，即如果 A 认识 B ， B 认识 C ，但 A 未必认识 C 。

下面对这 6 个人编号： A ， B ， C ， D ， E ， F 。任意取一个人，比如说 A ，那么根据“鸽笼原理” A 要么至少认识剩下 5 个人当中的 3 人，或者至少不认识剩下 5 个人当中的 3 人。那么我们先任意取一种情况，比如取 A 至少认识剩下 5 个人当中的 3 人（任意）： B ， C ， D 。那么如果 B ， C ， D 三个人当中有任意两个人相互认识，比如说是 B 和 C ，则 A 、 B 、 C 三人构成相互认识的三个，题目的证；如果三人当中都相互不认识，则 B 、 C 、 D 三人构成相互不认识的三个人，题目也得证。

对于另外一种情况，即 A 至少不认识剩下 5 个人当中的 3 人其证明与前面的证明相同。所以题目的结论是正确的。（解毕）

下面我们用数学的语言来描述上面的文字，可以这样说：

对于有 6 个顶点完全图的边用 2 种颜色（比如是红色和蓝色）进行任意染色，则结果一定是：要么存在一个红色的三角形，要么存在一个蓝色的三角形。

Ramsey 理论讨论的问题是：无论我们如何将一个“大”的系统分割成多么“小”的子类，在这些子类当中仍然存在着“大”的子系统。这里的系统指的是相互关联的物体以及物体之间的关系。“鸽笼原理”所表述的是会有多少物体属于同一个类别，而不考虑这些物体相互之间的关系。 Ramsey 理论与“鸽笼原理”不同。就像上面的那个例子，对于的染色我们需要得到的是某一种颜色的单色的三角形，而不仅是 3 条毫无关联的单色边。如果我们把例子延伸到无穷大的系统里，那么我们需要找的是在这个大系统中的一个子类里面是否仍然存在系统：我们不仅想得到无穷条红色的边，我们还想知道这些红色的边是怎样连接的，它们的点的关系是什么，能否得到我们预想的结构，这个子系统会不会有时候比原系统的结构还要严密，等等。 Ramsey 理论以系统内部的“序”为研究对象，揭示的是自然界简单而又深刻的现象与道理。

由于 Ramsey 理论中的系统是物体与物体之间的关系，这个系统的最佳描述工具就是图论。所以在 Ramsey 理论的研究过程中大量借助图论的点与线作为工具进行研究，并溶入其它领域的结论共同进行作用。

Ramsey 理论的研究在经历了 70 多年的历程之后，吸引了众多的数学家的加入，得到了众多的结果。 Ramsey 理论主要是研究组合数学、图论领域当中的问题，对它的研究无疑将丰富及拓展组合数学、图论方面的内容，丰富当中的方法与结论。

但是通观 Ramsey 理论所有已有的结论，虽然分支很多，我们仍然可以发现对于 Ramsey 理论的研究还是处于起步阶段，在它的研究范围内有太多的猜想和疑问等着人们慢慢的解决。著名数学家 Paul Erdös 曾经说过，对于 Ramsey 理论的研究我们需要调用数学领域里所有前人的成果。虽然它仍然处于起步阶段，但是它却具有很强的的生命力和影响力。所以对 Ramsey 理论的研究是跨越多个数学以及其它多个科学领域的，对它的研究需要借助这些领域的最新结果；而对它的研究结果又反过来影响促进这些领域的发展。

最近，对 Ramsey 理论的研究已经拓展到许多以前人们意想不到的领域里去。一些深远的结论使得 Ramsey 理论的内涵与外延得到了丰富与延伸。关于这方面的内容可以参考综述性的文章 [16] ， [17] 。关于 Ramsey 理论有其传统的应用领域：几何 ^{[5]，数论，集合理论。在传统领域当中，Ramsey理论的发展需要依靠这几个领域当中的最新结论，同时Ramsey理论发展的结果又反过来影响这几个领域的发展。最近Ramsey理论的研究又拓展到：泛函分析，超滤理论(ultrafilters theory)^[18]，数理逻辑^{[19]，特别是遍历理论(ergodic theory)^[20][21]。在这些领域的应用使得数学界中的连续性结果可以为离散性结果服务，而离散性结果不能为连续性结果服务的结论得到了推翻。其它的一些应用领域还包括计算机理论的研究领域。关于如何将典型的“非结构性”理论应用到计算机领域，可以参考文献[22]，[23]，[24]，[25]，[26]。}}

另外，对于 Ramsey 理论的研究还直接催生了“随机图论”和“极图理论”这两门图论理论，关于这方面的结果，可以参考文献 [39] ， [40] 。

2．3 Ramsey理论的研究分支

1 ． Ramsey 定理

Frank Ramsey 的论文《 On a Problem of Formal Logic 》 ^[4] 首先阐述的是 Ramsey 定理的无穷形式：

[ 无穷 Ramsey 定理 ^[4] ] 令为一个无穷类，和为正整数。令的所有子类都具有个元素，或者说，是将的元素划分成个相互独立的子类（），每一个子类都是个元素的组合，那么每一个组合都属于且只属于一个子类。那么一定包含一个无穷子类使得当中的所有组合属于同一个子类。

这个定理的原型从形式上好象与图论没有关系。后人在这个定理原型的基础上等价变形得到了许多形式的等价定理。由于该无穷形式不是本论文讨论的范围，所以在这里不一一阐述。 Frank Ramsey 在给出了 Ramsey 定理的无穷形式之后，又给出了有穷的形式。但是该有穷形式不利于图论的直接研究，后人也对其进行了改进，得到了下面的形式：

[ 有穷 Ramsey 定理 ^[28] ] 对于当时，如果对进行染色则存在，，，，对的所有子集至少有一个具有相同的颜色。

在这个定理的基础上就可以得到许多 Ramsey 类型的结果。

2 ． Ramsey 理论的主要研究分支

Ramsey 理论经过多年的发展产生了许多的变形，也产生了很多研究分支，其中主要的几个方面为：

（ 1 ） van der Waerden 数

[ 定义2.3.1 ^[28] ] van dan Waerden 数就是满足下面条件的最小整数：对集合进行染色后存在一个单色的具有个元素的等差数列。

目前已经得到的 ^[28] 为：

van dan Waerden 数在 Ramsey 理论研究中的难度是相当大的。目前对 van dan Waerden 数的研究为数不多。

（ 2 ） Schur 数

[ 定义2.3.2 ^[28] ] Schur 数表示满足下面条件的最大整数：对集合进行染色得不到满足等式的单色解。

目前已知的 Schur 数很少，对于这方面的研究难度相当的大，所以对这个分支的研究并没有得到很多的重视。

（ 3 ） Ramsey 数

[ 定义2.3.3 ^[29] ] 对于任意给定的图， Ramsey 数是指满足下列条件的最小的正整数：对完全图进行任意红-蓝边染色，或者能得到一个红的，或者能得到一个蓝的。

当分别为（）阶完全图时，又记做，并称为经典 Ramsey 数。当时又称对角 Ramsey 数。从 1955 年 Greenwood 和 Gleason^[6] 得到第一个非平凡的 Ramsey 数以来，在经历了近 50 年的研究之后目前知道的确切的经典 Ramsey 数，以及已知的经典 Ramsey 数上、下界如表 2.3-1 所示。

表 2.3-1 目前已知的经典Ramsey数 ^[10]

3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
3	6	9	14	18	23	28	36	40 43	46 51	52 59	59 69	66 78	73 88
4	9	18	25	35 41	49 61	55 84	69 115	80 149	96 191	128 238	131 291	136 349	145 417
5			43 49	58 87	80 143	95 216	121 316	141 442	153	181	193	221	242
6				102 165	109 298	122 495	153 780	167 1171	203	230	242	284	374
7					205 540	1031	1713	2826		312
8						282 1870	3583	6090
9							565 6588	12677
10								798 23581

确定 Ramsey 数是组合数学和图论中的一个著名难题，目前所知道的经典 Ramsey 数为数极少且研究难度极大，所以人们将研究方向转向求解形如的一般图 Ramsey 数问题。即当为一般图时，的一般图 Ramsey 数问题。对于一般图的 Ramsey 数所包含的内容相当广泛，例如对于圈、二部图、轮、扇、书、路、树等各种类型图以及这些图的组合等的研究。

关于路的研究结论有：

[ 定理2.3.1 ^[30] ] 当时，。

关于轮的研究结论有：

[ 定理2.3.2] ^[31]

对于，有 ^[32]

^[33]

^[34]

^[35]

关于书的研究结论有：

[ 定理2.3.3] 对，有 ^[36]

^[37]

^[10]

关于二部图的研究结论有：

[ 定理2.3.4] ^[36]

^[37]

^[41]

^[42]

^[43]

^[44]

, ^[45]

关于二部图以及其它类型图的 Ramsey 数还有很多结论，在这里就不一一累述。

关于圈的讨论是本论文的重点，将在后面的章节中详细论述。

值得一提的是，在 Ramsey 理论的研究中一些数学家开创性地引入数学分析作为研究工具，得到了一些很好的渐近结果。如我国数学家李雨生的结论：

[ 定理2.3.5 ^[38] ] 设图有个点，平均度为，任意顶点的导出子图的平均度为，则图的独立数至少为

其中

在这个定理的基础上他进而得到了下面的结论：

[ 定理2.3.6 ^[38] ]

这个渐近结论是目前最好的渐近结论，它把许多经典 Ramsey 数的估计范围从几十几百个甚至上千个估计值的范围缩小到只有很少的几个值的范围内，特别是对的估计更是相当精确，这个结论以及其中的研究方法大大推进了经典 Ramsey 数研究进程。

除了对图进行两种颜色的染色以外，还有进行任意多种颜色的染色问题。对图的研究还可以拓展到对超图的各方面性质的研究等。所以在 Ramsey 理论的研究领域中，对 Ramsey 数的研究所涉及的范围最广泛、内容最多，其研究状况也是处于最热点、最集中的状态。

（ 4 ）． Ramsey 理论在其它领域的应用

Ramsey 理论已经成功地应用于集合论、几何、数论、泛函分析等数学以及计算机理论研究领域。关于这方面的情况在 2.2 节已有具体阐述。

3 圈的Ramsey数研究现状

关于圈对完全图的 Ramsey 数的研究是本论文的研究重点，将在第 4 章做详细的讨论。下面主要综述圈对其它类型图的 Ramsey 数的研究情况。

3．1 圈对圈的Ramsey数

根据定义2.3.3，当和分别为圈的情况下，上面的 Ramsey 数就称为是圈对圈的 Ramsey 数。对于圈对圈的 Ramsey 数的研究主要分为对特定长度的圈的研究和对一般长度圈的研究。目前关于圈对圈的 Ramsey 数主要研究结果为：

[ 定理3.1.1 ^[63] ]

[ 定理3.1.2 ^[62] ]

(1) 如果满足下面条件之一

(i) 为偶数且；

(ii) 为奇数，为偶数且；

(iii) 为偶数，为奇数且；

则有

(2) 如果满足下面条件之一

(i) ，为奇数且；

(ii) 为偶数，为奇数且；

则有

(3) 如果满足下面条件之一

(i) ；

(ii) 为奇数，为偶数且；

(iii) 为偶数且；

则有。

(4) 如果，或者为奇数，则有

上面是对于两个圈的 Ramsey 数的结论，对于2色多圈不交并的结论目前已知的主要是我国数学研究者王大勇的结论：

[ 定理3.1.3 ^[69] ]

(1)

(2) 对于，有

(3) 若，有

(4) 对于，有

(5)

3．2 圈对星的Ramsey数

根据定义2.3.3，当为圈、为星（即）的情况下，上面的 Ramsey 数就称为是圈对星的 Ramsey 数。目前关于圈对星的 Ramsey 数主要研究结果为：

[ 定理3.2.1 ^[59] ] 对所有，有

并且如果是一个素数，则有：

[ 定理3.2.2 ^[59] ] 对充分大的，下面的不等式成立：

[ 定理3.2.3 ^[60] ] 对充分大的有：

并且等式中的指数是不可改进的。

[ 定理3.2.4 ^[58] ] 对所有的正整数，下面的不等式成立：

[ 定理3.2.5 ^[66] ]

(1) 假设是一个偶数且，则有：

(2) 假设，则有：

3．3 圈对树、轮和路的Ramsey数

根据定义2.3.3，当为圈、为树（即不含圈的简单图）的情况下，上面的 Ramsey 数就称为是圈对树的 Ramsey 数。目前关于树对星的 Ramsey 数主要研究结果为：

[ 定理3.3.1 ^[61] ] 对充分大的有：

其中的是出现在当中最大的星。

[ 定理3.3.2 ^[64] ] 对所有具有个顶点的树有：

[ 定理3.3.3 ^[67] ] 如果是一个奇数，，则有：

根据定义2.3.3，当为圈、为轮（即）的情况下，上面的 Ramsey 数就称为是圈对轮的 Ramsey 数。目前关于树对轮的 Ramsey 数主要研究结果为我国数学研究者周怀鲁的工作：

[ 定理3.3.4 ^[70] ]

(1) 假设为奇数，，那么

(2) 假设为奇数，，那么

(3) 假设为奇数，，则

根据定义2.3.3，当为圈、为路（即）的情况下，上面的 Ramsey 数就称为是圈对路的 Ramsey 数。目前关于树对路的 Ramsey 数主要研究结果为：

[ 定理3.3.5 ^[62] ]

(1) 如果为奇数且，则有；

(2) 如果为偶数且，则有；

(3) 如果为奇数且，则有；

(4) 如果为偶数且，则有。

3．4 圈对二部图的Ramsey数

根据定义2.3.3，当为圈、为二部图（即）的情况下，这个 Ramsey 数就称为是圈对二部图的 Ramsey 数。目前关于树对二部图的 Ramsey 数主要研究结果为：

[定理3.4.1 ^[65]]

(1) 已知的：

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
6	8	9	11	12	14	15	16	17	18
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
20	22	22 23	22 24	25	26	27 28	28 29	30	32

(2) 令，则有：

(3) 令，如果是一个素数指数值，则有：

并且

如果是一个素数指数值，则有：

(4) 给定，令

(i) 如果，则有：

(ii) 如果，则有：

此外，如果是一个素数指数值且，则有：

(5) 令，则有：

此外，如果是一个素数指数值，则有：

3．5 圈对一般图的Ramsey数

这里所涉及的一般图是指除了上面所讲的具有特殊结构的图之外的一般图。对于一般图的研究，主要是讨论具有特定顶点数目或者特定边数目的图。

[ 定理3.5.1 ^[67] ]

(1) 如果是一个具有个顶点、边数不超过的连通图，则有

其中为奇数。

(2) 如果图具有个顶点条边，则有

(3) 如果图是一个具有个顶点、边数不超过的连通图，则对于所有的有：

(4) 如果图是一个具有个顶点、边数不超过的连通图，则对于所有的奇数和有：

[ 定理3.5.2 ^[52] ]

(1) 令图为一个具有 6 个顶点且没有孤立点的图。如果图是不连通的，则

如果图是连通的，则：

(2) 如果图为一个具有 6 个顶点的连通图，且图为或者的一个子图，则有

(3) 如果图为一个具有 6 个顶点的连通图，且，包含、不包含为子图，则有

(4)

(5) 如果图为一个具有 6 个顶点的连通图，，则

3．6 小结

本章主要是对 Ramsey 理论进行综述。首先介绍了 Ramsey 理论的形成与发展简况，它的研究对象以及研究的意义；然后介绍了 Ramsey 理论目前的主要研究分支、以及每一个分支下的主要研究现状；接着介绍了圈的 Ramsey 数的研究情况，分别介绍了圈对圈的 Ramsey 数、圈对星的 Ramsey 数、圈对树的 Ramsey 数、圈对二部图的 Ramsey 数、圈对轮的 Ramsey 数、圈对路的 Ramsey 数以及圈对一般图的 Ramsey 数的研究情况，对这些已知的结果进行了综述，其中由于圈对完全图的 Ramsey 数是本论文主要研究的内容，将在第 4 章做详细讨论，所以在本章没有做详细的综述。

4圈对完全图的Ramsey数研究

由于对经典 Ramsey 数的研究进展相当缓慢，所以人们自然而然地会想到降低对完全图的要求，即将完全图变成一般图，希望在降低图的复杂度之后能够得到较多的 Ramsey 数，从而促进对经典 Ramsey 数的研究。然而这个愿望并没有实现，因为人们发现，在降低图的复杂度之后并没有使得研究的难度降低，反而引出了更多的问题。这一系列的问题组成了“图的 Ramsey 数”问题，成为 Ramsey 理论的另一个研究活跃的领域。

确定圈对完全图的 Ramsey 数（）是图的 Ramsey 数的其中一个重要的研究方向，也是本章主要要讨论的问题。

4．1基本结论

关于圈对完全图的 Ramsey 数（）的研究是以 J.A. Bondy 和 Paul Erd ö s 与 1973 年发表的经典文章《 Ramsey Numbers for Cycles in Graphs 》 ^[56] 为起点，至今已经过了 30 年的研究历程，但其研究成果仍未超过 J.A. Bondy 和 Paul Erd ö s 的份量。

对于一般自然数，圈对完全图的 Ramsey 数有下面的渐近结果：

[ 定理4.1.1 ^[56] ] 对所有的有。

[ 定理4.1.2 ^[56] ] 如果则有。

由于研究圈对完全图 Ramsey 数的难度并不亚于经典 Ramsey 数的研究，目前所知道的也是为数很少，如下表所示：

表4.1-1 已确定的

3	4	5	6	7	8	9
3	6 ^[6]	9 ^[6]	14 ^[6]	18 ^[53]	23 ^[54]	28 ^[55]	36 ^[55]
4	7 ^[46]	10 ^[47]	14 ^[6][34]	18 ^[48][49]	22 ^[50]	26 ^[57]
5	9 ^[46]	13 ^[34]	17 ^[34]	21 ^[68]	25 ^[51]
6		16 ^[52]	21 ^[52]

对于圈对完全图的 Ramsey 数的确定主要是理论推导和计算机计算两种方式，而现在利用计算机作为研究工具是目前研究者所主要采用的方式。一般来说，用 2 种颜色对的各边进行任意染色需要考虑种情况，在这种方式下计算机的运算量随的增加而呈现指数型增长，于是研究者们只好以降低准确度为代价换取运算效率的提高。近年来人们通过计算的下界和上界的方式来估计出一个或几个具体的 Ramsey 数的范围，其中的下界值通常是采用构造的方法得到，即构造特殊的图形，讨论其特有的属性来确定的下界。

4．2 预备引理

本章主要讨论的是当时，圈对完全图的 Ramsey 数的下界情况，构造了几个特殊图形的基础上讨论图形的性质，以此来决定其下界。下面首先给出几个引理：

[ 引理4.2.1] 不包含，若，则。

证明： 根据圈对完全图的 Ramsey 数的定义可知，由于不包含，且，显然有。

而对于，由于存在既不包含，又有其独立数，所以，即。

□

由引理 3.2.1 我们可以知道，如果能够构造出顶点数为且不包含的图，计算出的独立数，即能够得到。下面讨论不包含的图其构造方法。

[ 引理4.2.2] 设是一个素数，令集合。构造图，其中，，的定义如下：任意两个不同的顶点与相邻接，当且仅当（所有运算均对取模）。则图是一个不含的图。

证明： （反证法）

假设中存在，其顶点依次为、、、，由的定义有：

由此可得：

（ 1 ）

或者

（ 2 ）

由（ 1 ）与（ 2 ）都能得到相同的结论，即：

也就是说可以得到或者。把或者分别对应代入（1）或者（2），则分别可得或者，即对应有或者。所以上面假设的 4 个顶点、、、最多组成一个，即可知结论与前面的假设矛盾，所以是一个无图。

□

4．3 算法研究

下面我们就可以利用引理 4.2.2 ，选择不同的值就可以构造出顶点数目大小不同的无图，然后求出的独立数，再利用引理 4.2.1 就可以得到圈对完全图 Ramsey 数的下界。如果我们记是在中的闭邻域，为的独立集，考虑下面寻找极大独立集的方法：

在任意图中任意找一点，令。由于与当中的所有顶点都不相邻，所以且中剩余的点在中。在当中任意找一点，令，则且中剩余的点在中。重复上面的过程最终可以得到（此时有），而是下列情况中的一种：

（ 1 ）是一个完全图。由于完全图的独立数是 1 ，所以从中任意取一点加入，则找到一个极大独立集。

（ 2 ）是只有一个顶点的图。此时把剩下的最后一个顶点加入，则找到一个极大独立集。

回到上。重新再选一个顶点，重复上面的过程又可以找到若干不同的极大独立集。回到上重新选取顶点，重复上面的过程可以找到若干不同的极大独立集。最终回到上，重新选取顶点后就可以找到所有包含的极大独立集。然后回到上，重新选取顶点就可以得到所有包含的极大独立集。

总结上面的过程得到下面求解任意图的极大独立集算法：

[ 算法4.3.1] 寻找所有极大独立集算法

步骤1. 输入图的邻接矩阵，初始化的大小，独立集

步骤2. 如果，输出和最后的顶点，恢复上一次的和，更新；否则跳转步骤3

步骤3. 逐个对所有，，如果和所有中的点相邻，跳转步骤4；否则跳转步骤5

步骤4. 判断图是否为完全图，如果是完全图，输出，，跳转步骤3；如果不是完全图，，跳转步骤3。

步骤5. ，是的邻接矩阵，令，，更新，跳转步骤2

证明： 即证明是一个极大独立集。

先证明是一个独立集。，其中，由前面的描述可知，，。若，则不与中的任意一点相邻；若，则不与中的任意一点相邻。所以与之间相互独立。由和的任意性可以得到是一个独立集。

再证明是一个极大独立集。用反证法：设不是极大独立集，存在。由于算法在寻找一次独立集的过程中，最终得到，即出现前面描述中所列出的两种情况中的一种，此时得到。继续从中任意找一点，令，此时得到的，即不能从中再添加顶点到独立集当中，所以是不存在的。故是一个极大独立集。

由算法步骤3的逐个对所有进行搜索可知，算法可以得到所有的极大独立集。

□

不难得出这个算法的时间复杂度为，其中是图的阶数即顶点的数目，是独立集的大小。将算法4.3.1稍加改动即可得到寻找最大独立集的算法。

[ 算法4.3.2] 寻找最大独立集算法

步骤1. 输入图的邻接矩阵，初始化的大小，独立集，设定目前最大阀值

步骤2. 如果

子步骤1. 判断如果，则，输出和最后一个顶点

子步骤2. 否则，恢复上一次的和，更新，跳转步骤3

否则跳转步骤3

步骤3. 逐个对所有，，如果和所有中的点相邻，跳转步骤4；否则跳转步骤5

步骤4. 判断图如果是完全图

子步骤1. 判断如果，则，输出和中任意一个顶点

子步骤2. 否则，恢复上一次的和，更新，跳转步骤3

如果不是完全图，，跳转步骤3。

步骤5. ，是的邻接矩阵，令，，更新，跳转步骤2

证明： 首先证明是一个极大独立集。

由算法步骤3的逐个对所有进行搜索可知，算法可以得到所有的极大独立集。

算法步骤2的子步骤1用于确定当前最大的极大独立集，即在所有的极大独立集的基础上选择最大的一个做为图的最大独立集。所以算法最终的结果是输出图的一个最大独立集。

□

不难得出这个算法的时间复杂度也为，其中是图的阶数即顶点的数目，是独立集的大小。

算法4.3.2的流程图与计算机程序见附录 A 与附录 B 。

4．4 主要结论

利用引理 4.2.2 和算法 4.3.2 ，对分别取不同素数时所构造出的大小为的图通过计算机求解其最大独立集，计算出的独立数，以此再利用引理 4.2.1 就可以得到相应的圈对完全图的 Ramsey 数的下界。下面是本文利用上面的方法得到的主要结论。

[ 定理4.4.1] 。

证明： 利用引理 4.2.2 和算法 4.3.2 ，在时，构造得到 25 个顶点的不包含的图，其邻接矩阵见图 4.4-1 。通过编写程序（源程序见附录）在计算机上验证得到的一个最大独立集为：

独立数为，即。

□

[ 定理4.4.2] 。

证明： 利用引理 4.2.2 和算法 4.3.2 ，在时，构造得到 49 个顶点的不包含的图（见图 4.4-2 ），通过计算机计算验证得到独立数为，其中的一个最大独立集为：

即验证了。

□

[ 定理4.4.3] 。

证明： 利用引理 4.2.2 和算法 4.3.2 ，在时，构造得到 121 个顶点的不包含的图，通过计算机计算验证得到独立数为，其中的一个最大独立集为：

即验证了。

□

对于上面的 3 个结论，我们分别可以在引理 4.2.1 当中的基础上继续得到 3 个相应的结论。

[ 定理4.4.4] 。

独立数为，即。

□

[ 定理4.4.5] 。

即验证了。

□

图4.4-1 时图的邻接矩阵

图4.4-2 时的图

[ 定理4.4.6] 。

证明： 利用引理 4.2.2 和算法 4.3.2 ，在时，构造得到 121 个顶点的不包含的图，通过计算机计算验证得到独立数为，其中的一个最大独立集为：

即验证了。

□

接下来我们对前面已经得到的结论进行推导扩充，将构造出来的图扩充成较大或更大的图进行探讨。首先我们将构造出来的图扩大为个不交并的情况，可以得到下面的结论。

[ 定理4.4.7] 对于任意整数，。

证明： 令图为

其中，为定理 4.4.1 当中所构造的 25 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数

由引理 4.2.1 可得。

□

[ 定理4.4.8] 对于任意整数，。

证明： 令图为

其中，为定理 4.4.2 当中所构造的 49 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数

由引理 4.2.1 可得。

□

[ 定理4.4.9] 对于任意整数，。

证明： 令图为

其中，为定理 4.4.3 当中所构造的 121 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数

由引理 4.2.1 可得。

□

如果我们在原来构造的图的基础上并入个完全图的不交并，可以得到下面的结果。

[ 定理4.4.10] 对于任意整数，。

证明： 构造图为

其中为定理 4.4.1 当中所构造的 25 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数：

由引理 4.2.1 可得。

□

[ 定理4.4.11] 对于任意整数，。

证明： 构造图为

其中为定理 4.4.2 当中所构造的 49 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数：

由引理 4.2.1 可得。

□

[ 定理4.4.12] 对于任意整数，。

证明： 构造图为

其中为定理 4.4.3 当中所构造的 121 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数：

由引理 4.2.1 可得。

□

综合以上的结论，我们在原来构造的图的基础上，将其扩大为个不交图的并，并且再不交地并入个完全图的不交并，便可以得到下面的结论。

[ 定理4.4.13] 对于任意整数有。

证明： 构造图为

其中，为定理 4.4.1 当中所构造的 25 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数

由引理 4.2.1 可得。

□

[ 定理4.4.14] 对于任意整数有。

证明： 构造图为

其中，为定理 4.4.2 当中所构造的 49 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数

由引理 4.2.1 可得。

□

[ 定理4.4.15] 对于任意整数有

证明： 构造图为

其中，为定理 4.4.3 当中所构造的 121 个顶点的无图。所以图的顶点数目为且当中不包含，图的独立数

由引理 4.2.1 可得。

□

4．5 若干推论

4．5．1 图的最大独立集算法研究

对于一个以递归为主要手段的算法而言，消耗计算机内存的大小是一个与算法递归嵌套层数相关的线性函数，在算法时间复杂度一定的条件下，计算机消耗内存的大小与算法能够承受计算图的大小直接相关。计算机的内存大小是一个固定的数值，如果想提高算法的计算承受能力，就需要想办法减少算法所消耗的内存大小。那么如何改变算法递归嵌套层数就成为了对算法改进的主要突破口。

本论文第 4 章所建立的图的最大独立集算法 4.3.2 的时间复杂度为，其中为图的独立数，算法的流程图和计算程序见附录。这个算法从程序上看，它的递归嵌套层数为。在算法时间复杂度一定的条件下，我们需要减少它的递归嵌套层数来提高它的计算承受能力。在不增加编程难度的条件下，对算法4.3.2做出下面的改进：

[算法4.5.1] 寻找最大独立集算法（算法4.3.2的改进）

步骤1.输入图的邻接矩阵，初始化的大小，独立集，设定目前最大阀值

步骤2.如果

子步骤1. 判断如果，则，输出和最后一个顶点

子步骤2. 否则，恢复上一次的和，更新，跳转步骤3

否则跳转步骤3

步骤3.逐个对所有，分别做，如果和所有中的点相邻，跳转步骤4；否则跳转步骤5

步骤4.判断图如果是完全图

子步骤1. 判断如果，则，输出和中任意一个顶点

子步骤2. 否则，恢复上一次的和，更新，跳转步骤3

如果不是完全图，，跳转步骤3。

步骤5.，是的邻接矩阵，令，，更新

子步骤1：如果

子步骤 A . 判断如果，则，输出和最后一个顶点

子步骤 B . 否则，对所有，分别做，跳转步骤2

子步骤2. 逐个对所有，，跳转步骤2

证明：首先证明是一个极大独立集。

先证明是一个独立集。，其中，由第4.2节可知，，。若，则不与中的任意一点相邻；若，则不与中的任意一点相邻。所以与之间相互独立。由和的任意性可以得到是一个独立集。

再证明是一个极大独立集。用反证法：设不是极大独立集，存在。由于算法在寻找一次独立集的过程中，最终得到，即出现第4.3节中所列出的两种情况中的一种，此时得到。继续从中任意找一点，令，此时得到的，即不能从中再添加顶点到独立集当中，所以是不存在的。故是一个极大独立集。

算法步骤2的子步骤1和步骤5的子步骤1用于确定当前最大的极大独立集，即在所有的极大独立集的基础上选择最大的一个作为图的最大独立集。所以算法最终的结果是输出图的一个最大独立集。

□

算法 4.5.1 对算法 4.3.2 的改进在于一次递归选择的顶点个数为 2 ，而原来一次递归选择的顶点个数为 1 ，即算法 4.5.1 的嵌套层数较算法 4.3.2 要减少一半，所能够承受计算的能力比算法 4.3.2 要有较大的提高。例如算法 4.3.2 能够承受计算顶点个数为 100 左右的图，而算法 4.5.1 能够承受计算顶点个数为 150 左右的图。

算法 4.5.1 的计算机程序见附录 C 。

4．5．2 一类图的独立数

独立数作为图的一个重要的参数，对于研究图的一些特殊性质具有相当重要的意义。引理 4.2.2 给出了一类无图的结构，本小节对由该引理所建立起来的一系列图它们的独立数的情况进行研究。

下面称满足引理 4.2.2 条件的图记做，其中的为素数条件。

[推论4.5.2.1]时，有。

证明：通过计算机验证，时的一个最大独立集为：

即得到独立数为。

□

[推论4.5.2.2] 时，有。

证明：通过计算机验证，时的一个最大独立集为：

即得到独立数为。

□

[推论4.5.2.3]时，有。

证明：通过计算机验证，时的一个最大独立集为：

即得到独立数为。

□

[推论4.5.2.4]时，有。

证明：通过计算机验证，时的一个最大独立集为：

即得到独立数为。

□

下面我们对前面已经得到的结论进行推导扩充，将构造出来的图扩充成较大或更大的图进行探讨。首先我们将构造出来的图扩大为个不交并的情况，可以得到下面的结论。

[推论4.5.2.5]时，对任意，。

证明：由推论4.5.2.1可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证，。

□

[推论4.5.2.6]时，对任意，。

证明：由推论4.5.2.2可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证，。

□

[推论4.5.2.7]时，对任意，。

证明：由推论4.5.2.3可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证，。

□

[推论4.5.2.8]时，对任意，。

证明：由推论4.5.2.4可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证，。

□

如果我们在原来构造的图的基础上再并入个阶完全图的不交并，可以得到下面的结果。

[推论4.5.2.9]当时，对于任意整数，。

证明：由推论4.5.2.1可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证。

□

[推论4.5.2.10]当时，对于任意整数，。

证明：由推论4.5.2.2可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证。

□

[推论4.5.2.11]当时，对于任意整数，。

证明：由推论4.5.2.3可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证。

□

[推论4.5.2.12]当时，对于任意整数，。

证明：由推论4.5.2.4可知，时，有，所以对于个的不交并有：

所以结论得证。

□

综合以上的结论，我们在原来构造的无图的基础上，将其扩大为个不交图的并，并且在这个基础上再不交地并入个阶完全图的不交并，讨论这个新的图的独立数，我们便可以得到下面的结论。

[推论4.5.2.13]当时，对于任意整数，。

证明：由推论4.5.2.1可知，时，有，所以对于个的不交并再并上个的不交并有：

所以结论得证。

□

[推论4.5.2.14]当时，对于任意整数，。

证明：由推论4.5.2.2可知，时，有，所以对于个的不交并再并上个的不交并有：

所以结论得证。

□

[推论4.5.2.15]当时，对于任意整数，。

证明：由推论4.5.2.3可知，时，有，所以对于个的不交并再并上个的不交并有：

所以结论得证。

□

[推论4.5.2.16]当时，对任意整数，。

证明：由推论4.5.2.4可知，时，有，所以对于个的不交并再并上个的不交并有：

所以结论得证。

□

4．5．3 一类图的染色数

图的点染色数作为图的一个重要的参数，对于研究图的一些特殊性质具有相当重要的意义。引理 4.2.2 给出了一类无图的结构，本小节对由该引理所建立起来的一系列图它们的点染色数情况进行研究。

同样地，我们称满足引理 4.2.2 的图为。

[推论4.5.3.1]当时，。

证明：当时，我们通过算法4.5.1在计算机上查找可以找到的一个色划分：

即证明了。

□

[推论4.5.3.2]当时，。

证明：当时，我们通过算法4.5.1在计算机上查找可以找到的一个色划分：

即证明了。

□

[推论4.5.3.3]当时，。

证明：当时，我们通过算法4.5.1在计算机上查找可以找到的一个色划分：

即证明了。

□

[推论4.5.3.4]当时，。

证明：当时，我们通过算法4.5.1在计算机上查找可以找到的一个色划分：

即证明了。

□

4．6 小结

本章主要讨论的是圈对完全图的 Ramsey 数问题。首先介绍了目前的研究结果，进行研究的思路；然后探讨了当时的几个的下界问题。在探讨的过程中首先给出了构造无图的方法，该方法不同于现在研究者通常采用的素数阶循环图，而是利用了素数的特点所构造出来的，接着研究了能够从该图中得到的若干结果；然后探讨了任意图的极大和最大独立数的算法问题，并编制了计算机程序（见附录程序）；接着在上面的结果基础上得到了：

然后在这几个结论的基础上继续推导得到了对于任意整数有

然后在上面结论的基础上进行了延拓，首先对图的最大独立集算法进行了改进，然后就满足引理 4.2.2 条件的图的独立数和染色问题进行了研究，分别得到了其中的一些结果。首先是关于图的独立数的几个结论：

对于任意，我们有：

然后得到图的点染色数的几个结论：

5 结束语

本论文在查阅大量文献资料的基础上，主要就长度为 4 的圈对完全图的 Ramsey 数进行了研究，构造性的得到了 6 个下界，并在此基础上深入得到了一系列线性的下界；同时本文还研究了一般图的独立数算法问题、一类素数平方阶图的构造问题、该类图的独立数问题以及点染色问题，得到了一系列结果，对圈对完全图的 Ramsey 数做进一步的研究奠定了基础，同时也对 Ramsey 数在图论的其它方面的应用与推广做出了尝试。

由于本人能力、时间以及资料上面的限制，并没有将这几个圈对完全图的 Ramsey 数问题进行确定、以及在更多的方面将 Ramsey 理论的结果进行推广。所以，我在以后对于圈对完全图的 Ramsey 数的问题将在下面几个方面做进一步研究：

(1) 进一步缩小对完全图的 Ramsey 数范围，在能力允许的条件下确定对完全图的 Ramsey 数；

(2) 进一步将对的研究扩大到一般长度的圈的范围；

(3) 进一步讨论 Ramsey 数在图论、甚至在其它领域内的应用问题

当然，由于本人水平所限，论文当中一定存在不足与错误，恳请各位老师、专家、学者批评指正。

6 致谢

我的毕业论文在我的导师薛秀谦教授的悉心指导下终于完成了，从我的选题报告开始到毕业论文的全部完成、以及在整个论文的撰写过程中，无不渗透着薛老师的关怀与指导，在这里我向我的导师薛老师致以最崇高的敬意与感谢。

南京河海大学的李雨生教授是我学习 Ramsey 理论的入门老师，是他把我领进了 Ramsey 理论的殿堂，当我还对 Ramsey 理论不甚了解的时候，是李老师向我展示了 Ramsey 理论的魅力并引导我进行学习，为我从事研究指明了方向，在这里我也向李老师表示我深深的谢意。

感谢纽约 Rochester Institute of Technology 的 Stanislaw P. Radziszowski 教授在我进行选题报告时对我所选定的方向，以及进行论文撰写时所得到的结果所给出的中肯的评价和意见。

7 研究生期间发表的论文

[1] 杨铀，薛秀谦，段滋明 . 圈对完全图 Ramsey 数的 3 个新下界 . [J] 中国矿业大学学报（自然科学版）， 2003 年 1 月，第 32 卷第 1 期， 103-105

[2] 杨铀，薛秀谦，段滋明 . 圈对完全图 Ramsey 数的 3 个新下界 . [J] 广东工业大学学报（自然科学版）， 2003 年 3 月，第 20 卷第 1 期， 86-88 ， 94

[3] 杨铀，段滋明 . 求解图的最大独立集的一种算法 . [J] 电脑开发与应用， 2002 年 6 月，第 15 卷第 6 期 , 13-14

[4] 段滋明，薛秀谦，杨铀 . 4 个圈不交并图优美性的一些结果 . [J] 中国矿业大学学报（自然科学版）， 2003 年 1 月，第 32 卷第 1 期， 100-102

[5] 段滋明，杨铀 . 图的优美性 . [J] 烟台大学学报（自然科学与工程版）， 2003 年第 16 卷第 2 期， 83-88

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[12] 杨铀，薛秀谦，段滋明 . 圈对完全图 Ramsey 数的 3 个新下界 . [J] 广东工业大学学报（自然科学版） 2003 年 3 月，第 20 卷第 1 期， 86-88 ， 94

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[41] T.D. Parsons, Ramsey Graphs and Block Designs, [J] Journal of Combinatorial Theory, Series A, 20(1976) 12-19.

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[43] M. Harborth and I. Mengersen, Some Ramsey Numbers for Complete Bipartite Graphs, [J] Australasian Journal of Combinatorics, 13 (1996) 119-128.

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[70] 周怀鲁；奇圈对轮的 Ramsey 数； [J] 数学杂志， 1995 ，第 15 卷第 1 期， 119-120

附录A算法4.3.2流程图

附录B 算法4.3.2程序

#include <iostream.h>

#include <fstream.h>

#include <math.h>

#define max 49

#define max_sq 7

int change(bool a[max][max],int scale, int independent_ number,int number[max],int serial[max]);

void main(){

int i,j,m,n,o,independent_number;

int number[max],serial[max];

bool b[max][max];

for (i=0;i<max;i++) for (j=0;j<max;j++) b[i][j]=0;

for (i=0;i<max;i++) number[i]=-1;

for (i=0;i<max;i++) serial[i]=i+1;

ofstream file;

for (i=0;i<max;i++) for (j=0;j<max_sq;j++){

m=i/max_sq;

n=i%max_sq;

o=((m*j-n)%max_sq+max_sq)%max_sq;

b[i][j*max_sq+o]=1;

}

file.open("data.txt");

for (i=0;i<max;i++){

for (j=0;j<max;j++) file<<b[i][j]<<" ";

file<<endl;

}

file.close();

for (i=0;i<max;i++) b[i][i]=1;

for (i=0;i<max;i++) for (j=i;j<max;j++){

if (b[i][j]!=b[j][i]){

cout<<"wrong!!!/n";

cin>>m;

return;

}

independent_number=change(b,max,0,number,serial);

file.open("data.txt",ios::app);

file<<"independent number is: "<<independent_number;

file.close();

}

int change(bool a[max][max],int scale, int independent_ number,int number[max],int serial[max]){

int i,j,k,label,mid,get[max],first[max],random;

bool b[max][max];

ofstream file;

static int remember=1;

static int count=0;

if (scale<=1){

number[independent_number]=serial[0];

independent_number++;

count++;

if (remember<independent_number){

remember=independent_number;

file.open("and_data_product_plus.txt",ios::app);

file<<count<<"- "<<independent_number<<": ";

for (i=0;i<independent_number;i++)

file<<number[i]<<" ";

file<<endl;

file.close();

}

cout<<count<<"--- "<<independent_number<<endl;

return independent_number;

}

for (i=0;i<max;i++) for (j=0;j<max;j++) b[i][j]=0;

for (i=0;i<max;i++) first[i]=-1;

independent_number++;

for (i=0;i<scale;i++){

if (scale==max) {

cout<<"count over:"<<i+1<<endl;

cin>>random;

}

for (j=0;j<max;j++) get[j]=-1;

label=0;

number[independent_number-1]=serial[i];

for (j=0;j<scale;j++){

if (a[i][j]==0){

get[label]=j;

label++;

}

if (label==0){

mid=0;

for (j=0;j<scale;j++) for (k=0;k<scale;k++) if (a[j][k]==1) mid++;

if (mid>=scale*scale){

count++;

cout<<count<<"==="<<independent_number<<endl;

if (remember<independent_number) {

remember=independent_number;

file.open("and_data_product_plus.txt",ios::app);

file<<count<<"="<<independent_number<<": ";

for (j=0;j<independent_number;j++)

file<<number[j]<<" ";

file<<endl;

file.close();

}

return independent_number;

}

else continue;

}

for (j=0;j<label;j++) for (k=0;k<label;k++) b[j][k]=a[get[j]][get[k]];

for (j=0;j<label;j++) {

first[j]=serial[get[j]];

}

change(b,label,independent_number,number,first);

}

return remember;

}

附录C 算法4.5.1程序

#include <iostream.h>

#include <fstream.h>

#include <math.h>

#define max 169

#define sqrtmax 13

int change(bool a[max][max],int scale, int independent_number,int number[max],int serial[max]);

void main(){

int i,j,m,n,o,independent_number;

int number[max],serial[max];

bool b[max][max];

for (i=0;i<max;i++) for (j=0;j<max;j++) b[i][j]=0;

for (i=0;i<max;i++) number[i]=-1;

for (i=0;i<max;i++) serial[i]=i+1;

ofstream file;

for (i=0;i<max;i++){

for (j=0;j<sqrtmax;j++){

m=i/sqrtmax;

n=i%sqrtmax;

o=((m*j-n)%sqrtmax+sqrtmax)%sqrtmax;

b[i][j*sqrtmax+o]=1;

}

file.open("11data.txt",ios::app);

for (i=0;i<max;i++) file<<i<<"/t";

file<<endl;

for (i=0;i<max;i++){

file<<i<<"/t";

for (j=0;j<max;j++) file<<b[i][j]<<"/t";

file<<endl;

}

file.close();

for (i=0;i<max;i++) b[i][i]=1;

for (i=0;i<max;i++) for (j=i;j<max;j++){

if (b[i][j]!=b[j][i]){

cout<<"wrong!!!/n";

cin>>m;

return;

}

independent_number=change(b,max,0,number,serial);

file.open("data.txt",ios::app);

file<<"independent number is: "<<independent_number;

file.close();

}

int change(bool a[max][max],int scale, int independent_ number,int number[max],int serial[max]){

int i,j,k,label,mid,get[max],first[max];

bool b[max][max];

ofstream file;

static int remember=1;

static int count=0;

if (scale<=1){

number[independent_number]=serial[0];

independent_number++;

count++;

if (remember<independent_number){

remember=independent_number;

file.open("and_data_product_plus.txt",ios::app);

file<<count<<"- "<<independent_number<<": ";

for (i=0;i<independent_number;i++)

file<<number[i]<<" ";

file<<endl;

file.close();

}

cout<<count<<"--- "<<independent_number<<endl;

return independent_number;

}

for (i=0;i<max;i++) for (j=0;j<max;j++) b[i][j]=0;

for (i=0;i<max;i++) first[i]=-1;

independent_number++;

for (i=0;i<scale;i++){

for (j=0;j<max;j++) get[j]=-1;

label=0;

number[independent_number-1]=serial[i];

for (j=0;j<scale;j++){

if (a[i][j]==0){

get[label]=j;

label++;

}

if (label==0){

mid=0;

for (j=0;j<scale;j++) for (k=0;k<scale;k++) if (a[j][k]==1) mid++;

if (mid>=scale*scale){

count++;

cout<<count<<"==="<<independent_number<<endl;

if (remember<independent_number) {

remember=independent_number;

file.open("and_data_product_plus.txt",ios::app);

file<<count<<"="<<independent_number<<": ";

for (j=0;j<independent_number;j++)

file<<number[j]<<" ";

file<<endl;

file.close();

}

return independent_number;

}

else continue;

}

for (j=0;j<label;j++) for (k=0;k<label;k++) b[j][k]=a[get[j]][get[k]];

for (j=0;j<label;j++) {

first[j]=serial[get[j]];

}

change(b,label,independent_number,number,first);

}

return remember;

}