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精通递归程序设计

理解递归，以编写可维护的、一致的、保证正确的代码

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级别：初级

Jonathan Bartlett (johnnyb@eskimo.com), 技术主管, New Media Worx

2005 年 7 月 11 日

命令式语言开发人员并不经常使用递归这一工具，因为他们认为这样会较慢而且浪费空间，不过，作者通过示例表明，可以使用一些技术来尽量减少或者避免这些问题。他介绍了递归以及递归程序设计模式的概念，研究了如何使用它们来编写保证正确的程序。示例是使用 Scheme 和 C 编写的。

计算机科学的新学生通常难以理解递归程序设计的概念。递归思想之所以困难，原因在于它非常像是循环推理（circular reasoning）。它也不是一个直观的过程；当我们指挥别人做事的时候，我们极少会递归地指挥他们。

对刚开始接触计算机编程的人而言，这里有递归的一个简单定义：当函数直接或者间接调用自己时，则发生了递归。

递归的经典示例

计算阶乘是递归程序设计的一个经典示例。计算某个数的阶乘就是用那个数去乘包括 1 在内的所有比它小的数。例如，factorial(5) 等价于 5*4*3*2*1，而 factorial(3) 等价于 3*2*1。

阶乘的一个有趣特性是，某个数的阶乘等于起始数（starting number）乘以比它小一的数的阶乘。例如，factorial(5) 与 5 * factorial(4) 相同。您很可能会像这样编写阶乘函数：

清单 1. 阶乘函数的第一次尝试

				
int factorial(int n)
{
   return n * factorial(n - 1);
}

不过，这个函数的问题是，它会永远运行下去，因为它没有终止的地方。函数会连续不断地调用 factorial。当计算到零时，没有条件来停止它，所以它会继续调用零和负数的阶乘。因此，我们的函数需要一个条件，告诉它何时停止。

由于小于 1 的数的阶乘没有任何意义，所以我们在计算到数字 1 的时候停止，并返回 1 的阶乘（即 1）。因此，真正的递归函数类似于：

清单 2. 实际的递归函数

				
int factorial(int n)
{
   if(n == 1)
   {
      return 1;
   }
   else
   {
      return n * factorial(n - 1);
   }
}

可见，只要初始值大于零，这个函数就能够终止。停止的位置称为 基线条件（base case）。基线条件是递归程序的最底层位置，在此位置时没有必要再进行操作，可以直接返回一个结果。所有递归程序都必须至少拥有一个基线条件，而且必须确保它们最终会达到某个基线条件；否则，程序将永远运行下去，直到程序缺少内存或者栈空间。

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递归程序的基本步骤

每一个递归程序都遵循相同的基本步骤：

初始化算法。递归程序通常需要一个开始时使用的种子值（seed value）。要完成此任务，可以向函数传递参数，或者提供一个入口函数，这个函数是非递归的，但可以为递归计算设置种子值。
检查要处理的当前值是否已经与基线条件相匹配。如果匹配，则进行处理并返回值。
使用更小的或更简单的子问题（或多个子问题）来重新定义答案。
对子问题运行算法。
将结果合并入答案的表达式。
返回结果。

使用归纳定义

有时候，编写递归程序时难以获得更简单的子问题。不过，使用 归纳定义的（inductively-defined）数据集 可以令子问题的获得更为简单。归纳定义的数据集是根据自身定义的数据结构 —— 这叫做 归纳定义（inductive definition）。

例如，链表就是根据其本身定义出来的。链表所包含的节点结构体由两部分构成：它所持有的数据，以及指向另一个节点结构体（或者是 NULL，结束链表）的指针。由于节点结构体内部包含有一个指向节点结构体的指针，所以称之为是归纳定义的。

使用归纳数据编写递归过程非常简单。注意，与我们的递归程序非常类似，链表的定义也包括一个基线条件 —— 在这里是 NULL 指针。由于 NULL 指针会结束一个链表，所以我们也可以使用 NULL 指针条件作为基于链表的很多递归程序的基线条件。

链表示例

让我们来看一些基于链表的递归函数示例。假定我们有一个数字列表，并且要将它们加起来。履行递归过程序列的每一个步骤，以确定它如何应用于我们的求和函数：