数据结构--图之邻接矩阵&邻接表&图的遍历

图

1.什么是图？

图是一种复杂的非线性结构。

在线性结构中，数据元素之间满足唯一的线性关系，每个数据元素(除第一个和最后一个外)只有一个直接前趋和一个直接后继；

在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每个数据元素只与上一层中的一个元素(双亲节点)及下一层的多个元素(孩子节点)相关；

而在图形结构中，节点之间的关系是任意的，图中任意两个数据元素之间都有可能相关。

图G由两个集合V(顶点Vertex)和E(边Edge)组成，定义为G=(V，E)

2.图的相关概念

2.1有向图与无向图

对于一个图，若每条边都是没有方向的，则称该图为无向图。
对于一个图，若每条边都是有方向的，则称该图为有向图。

2.1.1无向图：

因此，(0，2)和(2，0)表示的是同一条边。注意，无向图是用小括号，有向图是用尖括号。
无向图的顶点集和边集分别表示为：
V(G)={0，1, 2，3}
E(G)={(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}

2.1.2有向图：

有向图的顶点集和边集分别表示为：
V(G)={0，1，2，3}
E(G)={<0，1>，<0，2>，<0，3>，<1，0>，<1，2>，<1，3>,<2，0>，<2，1>，<2，3>,<3，0>，<3，1>，<3，2>}

2.2度

顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。

在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。
因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)

对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)

2.3连通图与强连通图

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。

2.4完全图

完全图：
在有n个顶点的无向图中，若有n*(n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图；

在n个顶点的有向图中，若有n*(n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图。

2.5网

带”权值”的连通图称为网。

3.图的存储

图的存储分为两种，邻接表和邻接矩阵。

3.1邻接表

邻接表：邻接表是图的一种链式存储结构。这种存储结构类似于树的孩子链表。对于图G中每个顶点Vi，把所有邻接于Vi的顶点Vj链成一个单链表，这个单链表称为顶点Vi的邻接表。

3.2邻接矩阵

邻接矩阵：图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边的信息。

4.图的遍历方式

4.1深度优先遍历

深度优先搜索DFS遍历类似于树的前序遍历。其基本思路是：
a) 假设初始状态是图中所有顶点都未曾访问过，则可从图G中任意一顶点v为初始出发点，首先访问出发点v，并将其标记为已访问过。
b) 然后依次从v出发搜索v的每个邻接点w，若w未曾访问过，则以w作为新的出发点出发，继续进行深度优先遍历，直到图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。
c) 若此时图中仍有顶点未被访问，则另选一个未曾访问的顶点作为起点，重复上述步骤，直到图中所有顶点都被访问到为止。

红色数字代表遍历的先后顺序，无向图的深度优先遍历的顶点访问序列为：V0，V1，V2，V5，V4，V6，V3，V7，V8

4.2广度优先遍历

广度优先搜索遍历BFS类似于树的按层次遍历。其基本思路是：
a) 首先访问出发点Vi
b) 接着依次访问Vi的所有未被访问过的邻接点Vi1，Vi2，Vi3，…，Vit并均标记为已访问过。
c) 然后再按照Vi1，Vi2，… ，Vit的次序，访问每一个顶点的所有未曾访问过的顶点并均标记为已访问过，依此类推，直到图中所有和初始出发点Vi有路径相通的顶点都被访问过为止。