15、时间序列缺失值填充与低秩逼近方法解析

时间序列缺失值填充与低秩逼近方法解析

1. 缺失值填充的基本条件

在进行缺失值填充时，被填充组件的近似可分离性是成功填充的必要条件。对于完全分离的组件，缺失值可以无误差地重建。同时，缺失数据的位置对于子空间方法进行填充的可能性至关重要，因为非缺失值的数量应足够大，以通过形状奇异谱分析（Shaped SSA）实现可分离性。至少，完整滞后向量的数量应大于被填充时间序列组件的秩。

2. 迭代填充方法

2.1 迭代方法原理

迭代填充缺失值是一种自然且简单的思路。首先，使用一些合理的值填充缺失项，然后通过更新对象底层结构的奇异谱分析（SSA）近似来迭代改进这些值。该方法最初用于有噪声的秩亏矩阵的缺失值填充，后来被扩展到时间序列。

对于秩亏矩阵，其结构由秩定义，因此通过奇异值分解（SVD）进行改进，其中前 r 个 SVD 分量描述了该结构。有限秩 r 的时间序列可以表示为其轨迹矩阵，该矩阵秩为 r 且是 Hankel 矩阵。因此，可以借助轨迹矩阵的 SVD 并进行 Hankel 化来实现改进，这实际上就是基本的 SSA 算法加上重建步骤。如果序列是平稳的，或者部分了解序列模型，也可以在迭代中使用 Toeplitz SSA 或带投影的 SSA。

在每次迭代中，将改进后的值插入缺失项的位置，并将非缺失项的位置恢复为最初使用的数据。最初使用的数据有两种类型：一是使用原始值；二是如果可以应用 Shaped SSA，则可以使用重建值代替原始值。

2.2 迭代方法的优缺点

该方法可以形式上应用于几乎任何位置的缺失值。然而，数值实验表明，如果缺失数据位于时间序列的两端，迭代方法可能会失败。此外，