CRC 校验查表法的内在原理

CRC 余数的计算

设 CRC 多项式为 $C$。

先只说明两个字节的情况（最高有效位在左侧），大于两个字节（16 位数）的可以类推。注意下文中的所有加法都是无进位加法，也就是二进制中的异或。

表中数据为单字节(8 bit)的 CRC 余数。将被除数多项式每八位为一组，设为 $B_1{x}^8+B_0{x}^0$。

其中 $B_1,B_0$ 是 $x$ 进制的八位数。

已知 $B_1{x}^{32}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C=R_1$，$R_1$ 为 32 位的余数。

注意下文中的 $\Gamma x^{32}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C$ 均可以直接查表获得（以 $\Gamma$ 为 CRC 表的索引）。

求 $(B_1{x}^8+B_0{x}^0)x^{32}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C$ 的值：

等价于 $(B_1{x}^{40}+B_0{x}^{32})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C=(R_1{x}^8+B_0{x}^{32})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C$，

令 $R_1={\gamma }_{1,4}{x}^{24}+{\gamma }_{1,3}{x}^{16}+{\gamma }_{1,2}{x}^8+{\gamma }_{1,1}{x}^0$，其中 ${\gamma }_{1,i}(i=1,2,3)$ 为 8 位数。

所以：
$$\begin{array}{rl}& (B_1{x}^{40}+B_0{x}^{32})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C\\ & =((B_1{x}^{32}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C)x^8+B_0{x}^{32})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C\\ & =(R_1{x}^8+B_0{x}^{32})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C\\ & =({\gamma }_{1,4}{x}^{32}+{\gamma }_{1,3}{x}^{24}+{\gamma }_{1,2}{x}^{16}+{\gamma }_{1,1}{x}^8+B_0{x}^{32})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C\\ & =(({\gamma }_{1,4}+B_0)x^{32}+{\gamma }_{1,3}{x}^{24}+{\gamma }_{1,2}{x}^{16}+{\gamma }_{1,1}{x}^8)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C\\ & =(({\gamma }_{1,4}+B_0)x^{32}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}C+{\gamma }_{1,3}{x}^{24}+\gamma \end{array}$$