好题 BUPT OJ130 非平方等式

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BUPT OJ

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一道关于求解非平方等式的数学问题，寻找最小正整数x，使得x² + s(x)*x - n = 0。其中s(x)是x的十进制数字和，n为给定的大整数。通过分析得出x的范围应在18*9以内，利用x<Sqrt(n)的性质进一步压缩搜索范围，最终通过枚举解决。注意在处理大数据时，int与long long之间的比较要格外小心。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

考虑等式：

x2 + s(x)·x - n = 0,

其中x,n是正整数，s(x)是个函数，其值等于x在十进制下所有数字的和。

现给出整数n的大小，请你求出最小的满足条件的正整数x。

输入格式

输入仅包含一个整数n (1 ≤ n ≤ 1018) .

输出格式

如果不存在这样的x，请输出-1；否则请输出满足条件的最小的整数x (x > 0)

输入样例

输出样例

下课回来就看到这么一道好题，做了以后深受启发。

题目的大意是找到满足等式的最小值，找不到就返回-1。看起来不难理解，但是数据范围却是达到了10^18，用暴力必然TLE。

那么重点就是考虑怎么缩小搜索的范围。

首先我们看到 S(x) 代表x在十进制内各位数字之和，那么事实上 S(x) 的范围是确定的，其上界为所有位数均为9时，即S(x)≤18*9

其次，我们把等式进行转换，x+S(x)=n/x 这个整数方程似乎表明x是n的一个约数，但是求约数也是十分繁琐的过程。

这时我们注意到：n既然可以拆分为 x*(x+S(x)) ，那么x和x+S(x)分别在sqrt(n)的两侧。这是一个很简单的证明，这里也不提。

这个发现对于解决本题的大数据有很大的关键，因为S(x)必然大于0，则x必然小于x+S(x)，也就是说x<sqrt(n) 和 x+S(x)>sqrt(n) 恒成立。

所以x的范围其实被压缩到了18*9以内。现在只要进行枚举就能很快的解出此题了。

事实上，我们还可以进一步压缩x的范围，x不会大于sqrt(n)，所以不会超过10^9，S(x)的范围也被压缩到了9*9以内。

本题另一个难点就在于和long long有关的判断，int型不能直接和long long型进行比较。所以第一次提交十个测试点只通过四个，这是通过WA才得到的教训，切记，切记。

/*
USER_ID: test#birdstorm
PROBLEM: 130
SUBMISSION_TIME: 2014-03-03 17:23:58
*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MIN(x,y) (x)<(y)?(x):(y)
#define INF 1000000007
  
long long s(long long x)
{
    long long sum=0;
    while(x){
        sum+=x%10;
        x/=10;
    }
    return sum;
}
  
main()
{
    long long x, n, min=INF;
    int i, k;
    scanf("%lld",&n);
    for(i=(int)(sqrt(n)+1),k=1; k<=9*9 && i>0; k++, i--)
        if(((long long)(i)*(long long)(i)+(long long)(s(i)*i))==n) min=MIN(min,i);
    printf("%lld\n",min==INF?-1:min);
    return 0;
}