【剑指offer】二叉搜索树的后序遍历序列

【题目】

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历的结果。如果是则返回true，否则返回false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

【分析】

　首先我们观察题目：二叉搜索树，后序遍历两个知识点。

　　二叉搜索树，用于搜索，因此内部节点没有重复的元素。另外，满足二叉树的性质，左子树都比自己小，右子树都比自己大。那么可想而知，如果按照后序遍历，先左后右最后自己的顺序来遍历树，数组的最后一个元素肯定是自己（父节点），然后剩余的部分分成两个部分，第一部分都比自己小（左子树部分），第二部分都比自己大（右子树部分），因此套用这个关系就可以循环检验出是否是二叉搜索树的后序遍历了。

【解析】

例如输入数组｛5，7，6，9，11，10，8｝则返回true，因为这个整数序列是下图二叉树的后序遍历的结果。如果输入的数组是｛7，4，6，5｝，由于没有哪颗二叉搜索树的后续遍历的结果是这个序列，因此返回false。

在后序遍历得到的序列中，最后一个数字是树的根节点的值。数组中前面的数字可以分为两部分：第一部分是左子树结点的值，它们都比根节点的值小；第二部分是右子树结点的值，他们都比根节点的值大。

以数组｛5，7，6，9，11，10，8｝为例，后序遍历结果的最后一个数字8就是根节点的值。在这个数组中，前3个数字5，7和6都比8小，是值为8的结点的左子树结点；后3个数字9，11和10都比8 大，是值为8的结点的右子树结点。

我们接下来用同样的方法确定与数组每一部分对应的子树的结构。这其实就是一个递归的过程。对于序列5，7，6，最后一个数字6是左子树的根节点的值。数字5比6小，是值为6的结点的左子结点，而7则是它的右子节点。同样，在序列9，11，10中，最后一个数字10是右子树的根节点，数字9比10小，是值为10的结点的左子结点，而11则是它的右子节点。

我们再来分析一下另一个数组｛7，4，6，5｝。后序遍历的最后一个树是根节点，因此根节点的值是5.由于第一个数字7比5大，因此对应的二叉搜索树中，根节点上是没有左子树的，数字7，4，和6都是右子树结点的值。但我们发现在右子树中有一个结点的值是4，比根节点的值5小，这违背了二叉搜索树的定义。因此不存在一颗二叉搜索树，它的后序遍历的结果是7，4，6，5.

【代码】

public class Solution {
    public static boolean VerifySquenceOfBST(int[] sequence) {
		if (sequence == null || sequence.length == 0)
			return false;

		return verifySequenceOfBST(sequence, 0, sequence.length - 1);
	}

	public static boolean verifySequenceOfBST(int[] seq, int start, int end) {
		if (start > end)
			return true;
		int i = start;
		// root
		int root = seq[end];

		// 左子树
		while (i < end) {
			if (seq[i] > root)
				break;
			i++;
		}

		int j = i;
		// 右子树
		while (j < end) {
			if (seq[j] < root)
				return false;
			j++;
		}

		boolean flag_left = verifySequenceOfBST(seq, start, i - 1);
		boolean flag_right = verifySequenceOfBST(seq, i, end - 1);

		return flag_left && flag_right;
	}
}