8、自动自相关与谱分析：时间序列模型的理论解析

自动自相关与谱分析：时间序列模型的理论解析

在时间序列分析领域，理解各种模型的特性对于准确描述和预测数据至关重要。本文将深入探讨ARMA(p,q)过程、谐波过程以及时间序列模型的谱特性，揭示参数与自相关函数、功率谱密度之间的紧密关系。

1. ARMA(p,q)过程

ARMA(p,q)过程是自回归移动平均过程的简称，其生成方程为：
[x_n = a_1x_{n - 1}+\cdots+a_px_{n - p}+\epsilon_n + b_1\epsilon_{n - 1}+\cdots+b_q\epsilon_{n - q}]
简记为(A(z)x_n = B(z)\epsilon_n)，该过程有(p)个极点和(q)个零点。从线性滤波理论的角度看，ARMA(p,q)过程等效于一个AR(p)过程和一个MA(q)过程的串联，即先将白噪声输入AR(p)过程，再将其输出输入MA(q)过程。

计算ARMA过程的自协方差函数(r(k))时，可将其分为两部分。第一部分(1/A(z))的自协方差(r_v(k))，由于输入是白噪声序列，可利用标准AR理论计算，实际计算会使用递归的Levinson - Durbin算法。第二部分输入为(v_n)，不再是白噪声输入，计算时需更谨慎。

(r(k))的计算可通过以下步骤：
1. 由(x_n = B(z)v_n=v_n + b_1v_{n - 1}+\cdots+b_qv_{n - q})，可得(r(k)=E[x_nx_{n + k}])。
2. 进一步展开为：
[r(k)=\sum_{i = 0}^{q}\sum_{m = 0}^{q}b_ib_mr_v(k + m - i)]