27、信念函数相关知识解析

信念函数相关知识解析

1. 有限集上的信念函数核心

在有限集 (U = {u_1, u_2, \cdots, u_n}) 的情况下，设 (g) 是一个信念函数，其核心 (C) 是 ((U, 2^U)) 上所有概率测度的集合，核心 (C) 中的元素有时被称为与 (g) 兼容的测度。

每个 (C) 中的元素 (P) 会产生一个 (n) 元组 ({x_1, x_2, \cdots, x_n} \in [0, 1]^n)，其中 (\sum_{i = 1}^{n} x_i = 1)，且 (x_i = P({x_i}))。我们将 (g) 的核心 (C) 与所有这样的 (n) 元组构成的单纯形 (S) 的一个子集等同起来。

以下是关于核心 (C) 的一些重要性质：
- 引理 10.4.14 ：(C) 是 (S) 的一个凸子集。
- 定理 10.4.15 ：(C) 是 (S) 的一个闭子集。
- 引理 10.4.16 ：(D) 是 (S) 的一个凸子集，且 (D \subseteq C)。
- 定理 10.4.17 ：(C) 的极值点是在示例 10.4.12 中构造的 (n!) 个密度。不过这些密度可能不唯一，所以实际上 (C) 最多有 (n!) 个极值点。
- 定理 10.4.18 ：(C) 中的元素是其极值点的凸组合。
- 推论 10.4.19 ：(D = C)。

已知 (\inf{P :