9、模糊逻辑中的T - 范数同构与否定运算

模糊逻辑中的T - 范数同构与否定运算

1. T - 范数同构基础

在模糊逻辑中，T - 范数是一种重要的运算。我们可以通过特定方式构造阿基米德T - 范数，对于 (a \in [0, 1)) 和一个序同构 (f : [0, 1] \to [a, 1])，定义 (x \cdot_f y = f^{-1}(f(x)f(y) \vee a))。当 (a = 0) 时，(f) 就是 (([0, 1], \leq)) 的一个自同构。

下面我们来明确一些符号的使用规则：
- 用 (\triangle)、(\circ) 和 (\diamond) 等符号表示T - 范数。
- 函数复合通常用 (fg) 表示，而不是 (f \circ g)。
- (ab \vee c) 总是表示 ((ab) \vee c)，而 (a + b \vee c) 的含义需根据具体情况写成 ((a + b) \vee c) 或 (a + (b \vee c))。

对于两个T - 范数 (\circ) 和 (\diamond)，如果存在 (h \in Aut(I)) 使得 (h(x \circ y) = h(x) \diamond h(y))，则称系统 ((I, \circ)) 和 ((I, \diamond)) 是同构的，记为 ((I, \circ) \approx (I, \diamond))，(h) 称为同构映射。

T - 范数之间的同构是一种等价关系，它将T - 范数划分为等价类。其中，(\min) 是唯一的幂等T - 范数，即对于所有 (a \in [0, 1])，(a \circ a = a) 时，(\circ = \min)，并且与 (\min) 同构的T