27、代码之美：从算法实现到实际应用

代码之美：从算法实现到实际应用

1. 多线程算法与误差分析

在多线程算法中，主循环会让每个线程依次遍历每个面板。若有必要，所属线程会对面板进行分解，而其他线程（若在更新时恰好需要此面板）则需等待。前瞻逻辑嵌套在循环内，它替代了先前算法中的 DGEMM 或 PDGEMM。每个线程在更新其面板前，会检查是否可对首个未分解的面板进行分解，以此减少线程等待次数，消除潜在瓶颈。

多线程版本虽不如某些版本优雅，但性能是关键考量。随着核心数量增加，传统代码效率会降低，因此在相关层面直接控制执行线程至关重要，并行性不能仅封装在库调用中。不过，该代码不像 ScaLAPACK 那样复杂，高效的 BLAS 仍能发挥作用。

误差分析方面，所有算法的数值特性很关键。为提升性能牺牲优雅是可接受的，但数值稳定性是算法正确性的内在要求，不可牺牲。尽管不同代码片段对相同输入可能无法产生完全相同的输出，但所有算法本质相同。

误差可用公式 $ ||r||/||A|| ≤ ||e|| ≤ ||A^{-1}|| ||r|| $ 表示，其中误差 $ e = x – y $ 是计算解 $ y $ 与正确解 $ x $ 的差值，$ r = Ay – b $ 是“残差”。该公式表明，误差大小取决于矩阵 $ A $ 的质量。若矩阵在数值上接近奇异，算法结果可能不准确；否则，可得到较好结果。

所有版本的算法操作计数相同，均执行 $ 2/3n^3 $ 次浮点乘法和/或加法，只是操作顺序不同。部分算法会增加浮点运算量以节省内存或网络传输，由于这些算法操作计数相同，可通过计算速率（每秒浮点运算次数）比较性能，尤其在矩阵大小不同时，计算速率比较更具优势。

2. 美丽代码的定义与