过河卒

本文探讨了一个关于在棋盘上寻找从A点到B点的路径的问题,其中需要避开由马控制的不可通行点。文章提供了一段C++代码,用于计算在给定起点、终点及一匹马的位置的情况下,卒子可以达到目标点的不同路径数量。

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Problem Description

棋盘上A点有一个过河卒,需要走到目标B点。卒行走的规则:可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马(如C点),该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点(马走日字),卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示,A点(0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给出的,C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。

Input

输入有多组数据,对于每组数据只有一行,分别为B的坐标n,m和马的坐标。

Output

对于每组输入,输出从A点能够到达B点的路径的条数。

Sample Input

8 6 0 4

Sample Output

1617
 
 
//vis[][]存放的是0,1 ,表示是否是马的控制点
//卒走的方向是向下或向右 --- >>  当前点的路径数= 它的左边点的路径数+它的上边点的路径数

#include<cstdio> 
#include<iostream>
using namespace std; 
int mov[8][2]={1,2,-1,2,1,-2,-1,-2,2,1,2,-1,-2,1,-2,-1};
int vis[25][25]={0};
__int64 sum[25][25];  
int main()
{   int n,m,x,y,nx,ny,i,j;
    while(cin>>n>>m>>x>>y)
	{
	  memset(vis,0,sizeof(vis));  //  0表示不是马的控制点
	  memset(sum,0,sizeof(sum));  
	  vis[x][y]=1;      // 马的位置为1
       for(i=0;i<8;i++)
		   {
		         nx=x+mov[i][0];
				 ny=y+mov[i][1];
				 if(nx>=0&&nx<=20&&ny>=0&&ny<=20) 
					 vis[nx][ny]=1;	//  1表示马的控制点	   
		   }
	    sum[0][0]=1; 
        for(i=1;i<=n;i++)   
			if(!vis[i][0])    // 不是控制点
				sum[i][0]=sum[i-1][0];  //  边界点都是1
	    for(i=1;i<=m;i++)
			if(!vis[0][i])  
				sum[0][i]=sum[0][i-1];   //  边界点都是1

	    for(i=1;i<=n;i++)
		   for(j=1;j<=m;j++)
			   if(!vis[i][j])	
				   sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1];  //当前点= 它的左边点+它的上边点

     cout<<sum[n][m]<<endl;    //输出到达B点的路径的条数
	}
	 return 0;
}

<think>好的,我需要解决用户关于洛谷“过河”问题的疑问。首先,用户希望了解解题思路或算法实现。根据提供的引用内容,问题涉及动态规划,特别是递推关系。 首先,问题描述是过河从A(0,0)到B点,只能向右或向下走,同时避开的控制点。的位置和其跳跃可达的点是障碍。需要计算路径数量。 接下来,我需要整理引用中的信息。引用[3]提到棋盘和的控制点,引用[4]指出状态转移方程是dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1],但要注意的控制点。引用[1]和[2]提到递归方法效率低,动态规划是正解。 我需要考虑边界条件,比如起点被控制时直接返回0。然后初始化dp数组,处理的控制点,标记这些位置不可达。对于动态规划遍历,每个点如果没有被控制,就累加上面和左边的路径数。 另外,要注意数组越界的问题,比如当i或j为0时,只能从一个方向来。可能需要将坐标整体偏移,避免负数索引。例如,将起点设为(0,0),但实际处理时可能需要从1开始,这样i-1和j-1不会越界。 最后,代码实现部分需要处理输入,标记的位置及其控制点,初始化dp数组,然后逐行计算。测试案例验证正确性,比如题目中的示例输入。 用户可能需要进一步的优化方法,比如空间压缩,或者处理大数时的溢出问题。但根据引用内容,当前方法已经足够解决题目。需要确保代码正确处理所有边界情况,比如在边界时的控制点判断。</think>### 洛谷 P1002 过河 解题思路与算法实现 #### 问题描述 棋盘上,从 $A(0,0)$ 走到 $B(n,m)$,只能向右或向下移动。棋盘上有一个敌方,其位置为 $(x,y)$,的控制点包括自身位置和一步可达的8个点。求所有合法路径的数量(需避开的控制点)[^3]。 --- #### 算法思路 1. **动态规划(DP)** 使用二维数组 $dp[i][j]$ 表示从起点到点 $(i,j)$ 的路径总数,状态转移方程为: $$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$$ 需排除的控制点[^4]。 2. **边界条件** - 若起点 $A(0,0)$ 或终点 $B(n,m)$ 被控制,直接输出0。 - 初始化第一行和第一列时,若路径被控制点阻断,后续点均不可达。 3. **标记的控制点** 通过预计算标记所有的控制点,遍历时跳过这些点。 --- #### 代码实现(Python) ```python def count_paths(n, m, horse_x, horse_y): # 标记的控制点 blocked = set() directions = [(-1, -2), (-2, -1), (-1, 2), (-2, 1), (1, -2), (2, -1), (1, 2), (2, 1), (0, 0)] for dx, dy in directions: x = horse_x + dx y = horse_y + dy if 0 <= x <= n and 0 <= y <= m: blocked.add((x, y)) # 初始化DP数组 dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)] dp[0][0] = 0 if (0, 0) in blocked else 1 # 动态规划遍历 for i in range(n + 1): for j in range(m + 1): if (i, j) in blocked: continue if i == 0 and j == 0: continue top = dp[i-1][j] if i > 0 else 0 left = dp[i][j-1] if j > 0 else 0 dp[i][j] = top + left return dp[n][m] # 示例输入:B(6,6),在(3,3) print(count_paths(6, 6, 3, 3)) # 输出应为6 ``` --- #### 关键点说明 1. **坐标偏移处理** 实际代码中可将棋盘坐标整体偏移,避免负数索引(如将起点设为 $(1,1)$)。 2. **空间优化** 可将二维DP数组压缩为一维数组,仅保留当前行状态,降低空间复杂度至 $O(m)$。 3. **大数问题** 路径数可能极大,需根据题目要求使用高精度计算或取模操作。 ---
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