NOI1768:最大子矩阵

最新推荐文章于 2024-04-20 12:10:54 发布

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本文介绍了两种求解最大子矩阵问题的算法：暴力求解和动态规划(dp)方法。暴力求解通过四层循环遍历所有可能的子矩阵，复杂度为O(n^4)。dp方法使用前缀和和类似最大连续子串的算法，将复杂度降低到O(n^3)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

1768:最大子矩阵

题解

暴力求解

题目范围为 $0 < N < = 100$ ，可以直接暴力求解最大子矩阵。复杂度为 $O(n^4)$ ，这个复杂度一般是可以接受的。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>

#define maxn 105
#define inf 0x3f3f3f3f

int n, ans;
int f[maxn][maxn], a[maxn][maxn];

int _max(int a, int b){
    return a > b ? a : b;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    ans = -inf;
    int i, j, k, l;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        for(j = 1; j <= n; j++){
            scanf("%d", &a[i][j]);
            f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
    for(i = 1; i <= n; i++){
        for(j = 1; j <= n; j++){
            for(k = i; k <= n; k++){
                for(l = j; l <= n; l++){
                    ans = _max(ans, f[k][l] - f[k][j - 1] - f[i - 1][l] + f[i - 1][j - 1]);
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

dp求解

$p r e [i] [j]$ 表示对于第 $j$ 列，前 $i$ 行的矩阵前缀和。即 $\sum_{k = 1}^{i}a[k][j]$ 。
$f [k]$ 表示对于起始行号为 $i$ ，终止行号为 $j$ 的子矩阵，子矩阵第 $j$ 列的元素之和。

利用类似于求解最大连续子串的方法对 $f [k]$ 进行求解。所得即为最大子矩阵，复杂度为 $O(n ^3)$ 。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>

#define maxn 105
#define inf 0x3f3f3f3f

int n, ans;
int pre[maxn][maxn], a[maxn][maxn], f[maxn];

int _max(int a, int b){
    return a > b ? a : b;
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    ans = -inf;
    int i, j, k;
    for(i = 1; i <= n; i++){
        for(j = 1; j <= n; j++){
            scanf("%d", &a[i][j]);
            pre[i][j] = pre[i - 1][j] + a[i][j];
        }
    }
    for(i = 1; i <= n; i++){
        for(j = i + 1; j <= n; j++){
            for(k = 1; k <= n; k++){
                f[k] = pre[j][k] - pre[i - 1][k];
            }
            for(k = 1; k <= n; k++){
                f[k] = _max(f[k - 1] + f[k], f[k]);
                ans = _max(ans, f[k]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}