GDUT 2020 ACM 月赛2 E

题意

给定一个长度为$n$的$01$串$s$（下标从1开始），定义$f(l,r)$为串$s_l{s}_{l+1}\dots s_{r-1}{s}_r$的子串中，满足1的个数为奇数的串的个数。求$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i}^{n}f(i,j)$。

思路

先考虑$f(1,n)$如何求。令$t_i=s_{1}xor{s}_2\dots s_i$。（$s_i$是指字符$s_i$对应数字，$t_i$同样，以下亦是如此）特别地令$t_0=0$。则$f(1,n)$变为找满足$t_i\ne t_j(0\le i<j\le n)$的二元组$(i,j)$个数，$t_i\ne t_j$等价与$t_i=t_{j}xor1$。
易得递推关系
$f(1,n+1)=f(1,n)+\sum _{j=0}^n[t_j=t_{n+1}xor1]$;
设$pre(n,num)=\sum _{i=0}^n[t_i=num]$，特别地$pre(-1,0)=pre(-1,1)=0$;
则$f(1,n+1)=f(1,n)+pre(n,t_{n+1}xor1)$;
推广到一般情况
$$\begin{array}{rl}f(l,r+1)& =f(l,r)+\sum _{i=l-1}^r[t_i=t_{r+1}xor1]\\ & =f(l,r)+pre(r,t_{r+1}xor1)-pre(l-2,t_{r+1}xor1)\end{array}$$

设$g_n=\sum _{i=1}^{n}f(i,n)$
根据$f(l,r)$递推关系可得
$$\begin{array}{rl}{g}_{n+1}& =\sum _{i=1}^{n+1}f(i,n+1)\\ & =\sum _{i=1}^n(f(i,n)+pre(n,t_{n+1}xor1)-pre(i-2,t_{n+1}xor1))+t_{r+1}\\ & =g_n+n\ast pre(n,t_{n+1}xor1)-\sum _{i=-1}^{n-2}pre(i,t_{n+1}xor1)+t_{r+1}\end{array}$$
由于$pre(-1,0)=pre(-1,1)=0$，所以
$g_{n+1}=g_n+n\ast pre(n,t_{n+1}xor1)-\sum _{i=0}^{n-2}pre(i,t_{n+1}xor1)+t_{n+1}$
设$ppre(n,num)=\sum _{i=0}^{n}pre(i,num)$；
则$g_{n+1}=g_n+n\ast pre(n,t_{n+1}xor1)-ppre(n-2,t_{n+1}xor1)+t_{n+1}$;
而
$pre(n+1,num)=pre(n,num)+[t_{n+1}=num]$;
$ppre(n+1,num)=ppre(n,num)+pre(n+1,num)$;
可以$O(n)$递推得到$pre,ppre,g$。
最后$ans=\sum _{i=1}^n{g}_i$。