求最大公约数之辗转相除法、更相减损术及两者结合算法

下面代码受漫画算法：辗转相除法是什么鬼？启发，原文讲解十分精彩，强烈建议查看原文，但是原文代码有几个小错误，本文代码为修改后的版本。讲解均在代码注释。

/**< 测试几种求最大公约数的算法 */

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int gcdOri(const int a, const int b);
int gcdEA(const int a, const int b);
int gcdMD(const int a, const int b);
int gcdBEST(const int a, const int b);


int main()
{
    int a, b;
    scanf("%d %d", &a, &b);
    printf("Common algorithm:          %d\n", gcdOri(a, b));
    printf("Euclidean algorithm:       %d\n", gcdEA(a, b));
    printf("More derogation algorithm: %d\n", gcdMD(a, b));
    printf("Best algorithm:            %d\n", gcdBEST(a, b));
    printf("Hello world!\n");
    system("pause");
}

/** 最暴力的算法，从2遍历到a和b中较少的那个一半
 *  效率最低，时间复杂度为O(n/2)；
 */
int gcdOri(const int a, const int b)
{
    int smallnum = a<b?a:b;
    int bignum = a>b?a:b;
    int i, rlt;
    if(bignum%smallnum == 0)
        rlt = smallnum;
    else
    {
        for(i=2; i<=smallnum/2; i++)
        {
            if((bignum%i==0) && (smallnum%i==0))
            {
                rlt = i;
            }
        }
    }
    return rlt;
}
/** 辗转相除法， 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm）
 *  定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。
 *  比如10和25，25除以10商2余5，那么10和25的最大公约数，等同于10和5的最大公约数。
 *  但是当a、b较大是，a%b取模运算的性能比较低
 */
int gcdEA(const int a, const int b)
{
    int rlt;
    int smallnum = a<b?a:b;
    int bignum = a>b?a:b;
    if(bignum%smallnum == 0)
        rlt = smallnum;
    else
    {
        rlt = gcdEA(smallnum, bignum%smallnum);
    }
    return rlt;
}
/** 更相减损术， 出自于中国古代的《九章算术》
 *  两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。
 *  比如10和25，25减去10的差是15,那么10和25的最大公约数，等同于10和15的最大公约数。
 *  更相减算术依靠两数求差的方式来递归，运算的次数肯定远大于辗转相除法的取模方式
 *  比如计算1000和1，就要递归999次
 */

int gcdMD(const int a, const int b)
{
    int rlt;
    int smallnum = a<b?a:b;
    int bignum = a>b?a:b;
    if(bignum%smallnum == 0)  /**< 应该和bignum==smallnum一样 */
        rlt = smallnum;
    else
    {
        rlt = gcdMD(smallnum, (bignum-smallnum));
    }
    return rlt;
}

/** 最优方法：把辗转相除法和更相减损法的优势结合起来，在更相减算术的基础上使用移位运算
 *  对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是a,b的最大公约数函数：
 *  当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
 *  当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
 *  当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
 *  当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b必然是偶数，又可以继续进行移位运算。
 */

int gcdBEST(const int a, const int b)
{
    int rlt = 0;
    int smallnum = a<b?a:b;
    int bignum = a>b?a:b;
    if(bignum%smallnum == 0)
        rlt = smallnum;
    else
    {
        if(!(bignum&1) && !(smallnum&1))  /**< '&1'与1运算，就是2进制下末尾和1做‘与’运行，结果同1异0，所以可用来判断奇偶，返回1为奇，0为偶 */
        {
            rlt = gcdBEST(bignum>>1, smallnum>>1) << 1;
            /**< 右移运算 >>1 相当于偶数/2，相反地，左移运算，相当于*2 */
        }
        else if(!(bignum&1) && smallnum&1)
        {
            rlt = gcdBEST(bignum>>1, smallnum);
        }
        else if(bignum&1 && !(smallnum&1))
        {
            rlt = gcdBEST(bignum, smallnum>>1);
        }
        else if(bignum&1 && smallnum&1)
        {
            rlt = gcdBEST(smallnum, bignum-smallnum);
        }
    }
    return rlt;
}