堆排序分析

堆排序分析

时间复杂度：平均情况，O(nlogn)；最好情况 ，O(nlogn)；最差情况，O(nlogn)。

空间复杂度，O(1)。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cfloat>

using namespace std;

void maxheapify(vector<double> & A, int i, int heapsize)
{
        int l = 2*i + 1;
        int r = 2*i + 2;
        int largest;
        if(l < heapsize && A.at(l) > A.at(i) )
        {
                largest = l;
        }
        else
        {
                largest = i;
        }
        if(r < heapsize && A.at(r) > A.at(largest) )
        {
                largest = r;
        }
        if(largest != i)
        {
                double tmp = A.at(i);
                A.at(i) =  A.at(largest);
                A.at(largest) = tmp;
                maxheapify(A, largest, heapsize);
        }
}
void build_max_heap(vector<double> & A)
{
        int heapsize = A.size();
        for(int i=A.size()/2-1; i>=0; i--)
        {
                maxheapify(A, i, heapsize);
        }
}
void heapsort(vector<double> & A, int & heapsize)
{
        build_max_heap(A);
        for(int i=A.size()-1; i>0; i--)
        {
                double tmp = A.at(0);
                A.at(0) = A.at(i);
                A.at(i) = tmp;
                heapsize--;
                maxheapify(A, 0, heapsize);
        }
}

int main(int argc, char ** argv)
{
        double arr[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7};
        vector<double> A(arr, arr+10);
        for(int i=0; i<A.size(); i++)
                cout<<A.at(i)<<" ";
        cout<<"\n\n";
        int heapsize = A.size();
        heapsort(A, heapsize);
        
        for(int i=0; i<A.size(); i++)
                cout<<A.at(i)<<" ";
        cout<<endl;
        return 0;
}

基本思想：堆排序中的数据结构“堆”事实上就是完全二叉数。如果从小到大排列数组中的数，则需要建大顶堆。所谓大顶堆，就是完全二叉数中父亲都不小于孩子。排序的自始至终，都要维护一个大顶堆，否则就要进行调整。

时间复杂度分析：

调整堆的时间复杂度：O(logn)

建堆的时间复杂度：调整堆时作用在高度为h的结点上的时间是O(h)。第h层节点数目有n2h+1。则建堆时间复杂度为Σlgnh=0n2h+1O(h)=O(n)

堆排序时间复杂度：O(n) + (n-1)O(logn) = O(n)

注意：

1）建立初始大顶堆的时候需要调用调整堆的算法。

2）调整堆算法的输入是两个大顶堆，这两个大顶堆分别是某一个结点的左子树和右子树。

3）建堆时从最后一个内结点开始从下往上到根结点进行；调整堆时自顶向下进行。

4）堆的大小初始为数组大小，随着调整大顶堆算法的每一次完成逐渐递减。

5）调整好一个大顶堆后，将数根移到堆尾部，也就是数组中是从后往前、从大到小确定排序结果的。