73、图的色指数近似算法与三角形查找算法研究

图的色指数近似算法与三角形查找算法研究

1. 图的色指数近似算法

在图论中，图的色指数 $\chi’(G)$ 是指对图 $G$ 的边进行恰当着色所需的最少颜色数。然而，评估图的色指数是一个 NP - 难问题。不过，有经典定理给出了色指数的上界，如 Shannon 定理表明 $\chi’(G) \leq \lfloor\frac{3}{2}\Delta(G)\rfloor$，Vizing 定理表明 $\chi’(G) \leq \Delta(G) + p(G)$，其中 $\Delta(G)$ 是图 $G$ 的最大顶点度，$p(G)$ 是图 $G$ 中边的最大重数。

为了进一步研究，我们引入了一些新的概念：
- $r$ - 临界边 ：对于图 $G$ 中的边 $e = uv$，若 $r \geq d_G(v) + d_G(u) - p_G(e)$，且对于每一条边 $e’ = uv’$（$v’ \neq v$）都有 $d_G(v’) + p_G(e’) \leq r$，则称边 $e$ 在顶点 $u$ 上是 $r$ - 临界的。
- $\rho_G(u)$ ：表示最小的整数 $r$，使得要么对于每一条与顶点 $u$ 关联的边 $e’’ = uv’‘$ 都有 $d_G(v’‘) + p_G(e’‘) \leq r$，要么存在一条边 $e$ 在顶点 $u$ 上是 $r$ - 临界的。
- $\pi_G(u)$ ：定义为 $\pi_G(u) = \max{d_G(u), \rho_G(u)}$。
- $r$ - 排序 ：设 $