70、数据结构与IP查找算法的优化探索

数据结构与IP查找算法的优化探索

1. 链式伸展树的特性与竞争力分析

链式伸展树（Chain - Splay）在数据结构领域有着独特的地位。在对其进行分析时，我们发现while循环最多重复 leveli(σi) 次。这是因为树 Si 遵循 Pi 的链，所以沿着路径 σi → root(Si) 最多会遇到 leveli(σi) 条链。

值得注意的是，将 σi 伸展到 p(C) 的顶部节点时，可以避免伸展操作中的“zig”规则。这样一来， σi 可能不会成为 p(C) 的顶部节点，而只是其左子节点或右子节点。不过，即便如此，我们的分析依然成立，只需进行一些细微的修改。因此，被访问的元素可以以与经典伸展操作完全相同的方式伸展到 Si 的根节点。

定理5指出，对于 M ≥ N 的情况，链式伸展树相对于最优搜索算法具有 (loglog2(N + 1)) 的竞争力。其证明过程如下：根据引理3，将 σi 伸展到根节点的摊还成本为 (loglog2(N + 1))⋅leveli(σi) ；根据定理4，重新加权的摊还成本同样为 (loglog2(N + 1))⋅leveli(σi) 。利用引理2，我们可以得到：
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C_{C - SPL