63、贪心与随机算法在随机图上的实验评估及大图局部聚类

贪心与随机算法在随机图上的实验评估及大图局部聚类

1. 算法理论基础

• 引理 2 ：对于选择顶点 ${v_1, \ldots, v_k}$ 的顺序算法 $A$，有 $\alpha(G) \leq|I_0| + \sum_{i=1}^{k} \text{deg}(v_i)$。这意味着选择动态度为 0 或 1 的顶点是正确的，而每个动态度为 2 的顶点最多产生大小为 1 的误差。
• 相关定义
  • 直路径 ：只包含度为 2 的顶点的路径。
  • 区间 ：不是其他直路径的真子路径的直路径。若其长度为偶数（奇数），则该直路径为偶数（奇数）路径。最小的由一个顶点组成的区间是偶数区间，长度为 0。
  • 端点 ：区间的第一个和最后一个顶点。
  • 连接器 ：度大于 2 且与区间端点相邻的顶点。
  • 叶区间（叶） ：长度大于 0 且端点与同一个连接器相邻的区间。
  • 环区间（环） ：端点相邻的区间。
  • 二分图 $Q = (I \cup C; F)$ ：顶点集为 $I \cup C$，其中 $I$ 是区间集，$C$ 是连接器集；边 $(p, c)$ 在边集 $F$ 中当且仅当 $p$ 是 $I$ 中的区