58、加权二分图匹配的快速算法

加权二分图匹配的快速算法

1. 问题引入与动机

在图论中，二分图 $G = (V_1 ∪ V_2, E)$ 由 $n$ 个节点和 $m$ 条边组成，边的权重由函数 $w : E → R^+$ 定义。二分图的完美匹配是边的一个子集 $M ⊆ E$，使得对于每个节点 $v ∈ V = V_1 ∪ V_2$，恰好有一条与之关联的边 $e ∈ M$。匹配 $M$ 的权重是其所有边的权重之和，即 $w(M) := \sum_{e∈M} w(e)$。最小权重二分图匹配问题就是要为给定的二分图 $G$ 和权重函数 $w$ 找到一个权重最小的完美匹配，在运筹学中，这个问题常被称为分配问题。

这个问题在实际中有广泛的应用：
- 生物信息学 ：蛋白质结构比对是一个常见问题，需要比较和分类所有已知的蛋白质结构。为了对齐两个蛋白质，需要找到一个结构到另一个结构的等距变换，这就需要在一个合适的图上解决加权二分图匹配问题，其中节点代表原子或原子组，边的权重由合适的距离函数给出。
- 物流和仓储 ：希望将产品放置在货架上，使产品的访问时间最小化。权重可以根据产品的属性、访问频率、重量和大小以及货架上的位置来建模访问时间，这个问题可以表述为加权二分图匹配问题。
- 其他领域 ：还在形状匹配和对象识别、图像处理和计算机视觉、VLSI 设计等领域有重要应用。

过去几十年，该问题吸引了大量关注，人们开发了多种算法来改进理论和实际运行时间：
|算法|运行时间|适用情况|
| ---- | ---- | ---- |
|匈牙利方法|$O(n^3)$|